Mostre que: 1 = 4/pi (sen(x) + 1/3 sen(3x) + 1/5) sen 5x + ..., 0 < x < pi;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação é verdadeira para . Isso está ligado ao estudo de séries de Fourier, especificamente à representação de funções como somas infinitas de senos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como derivar os coeficientes dessa série para a função constante 1 no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Fourier. É uma forma de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos com diferentes frequências. No nosso caso, estamos lidando apenas com senos, então estamos falando de uma série de Fourier senoidal. A ideia é encontrar uma série que, quando somada infinitamente, iguale a função que estamos representando—iniciando, neste caso, a função constante 1.

Passo 3

Como estamos representando uma função constante usando apenas termos de seno, precisamos calcular os coeficientes que multiplicam cada seno na série. A fórmula geral para os coeficientes em uma série de Fourier senoidal é:
Aqui, é a função que queremos representar, que no nosso caso é . Vamos calcular para termos ímpares, já que somente senos de múltiplos ímpares aparecem na série dada.

Passo 4

Vamos calcular para . Substituindo na fórmula, temos:
A integral de de 0 a é:
Sabendo que e , temos:
Para ímpar, , então:

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula de :
Isso vale para ímpar (1, 3, 5, …). Portanto, a série de Fourier para no intervalo é:

Resposta

Conseguimos mostrar que para usando a série de Fourier senoidal da função constante 1.

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