Mostre que: sen ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação é verdadeira para . Isso está ligado ao estudo de séries de Fourier, especificamente à representação de funções como somas infinitas de senos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como derivar os coeficientes dessa série para a função constante 1 no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Fourier. É uma forma de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos com diferentes frequências. No nosso caso, estamos lidando apenas com senos, então estamos falando de uma série de Fourier senoidal. A ideia é encontrar uma série que, quando somada infinitamente, iguale a função que estamos representando—iniciando, neste caso, a função constante 1.

Passo 3

Como estamos representando uma função constante usando apenas termos de seno, precisamos calcular os coeficientes que multiplicam cada seno na série. A fórmula geral para os coeficientes em uma série de Fourier senoidal é:
Aqui, é a função que queremos representar, que no nosso caso é . Vamos calcular para termos ímpares, já que somente senos de múltiplos ímpares aparecem na série dada.

Passo 4

Vamos calcular para . Substituindo na fórmula, temos:
A integral de de 0 a é:
Sabendo que e , temos:
Para ímpar, , então:

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula de :
Isso vale para ímpar (1, 3, 5, …). Portanto, a série de Fourier para no intervalo é:

Resposta

Conseguimos mostrar que para usando a série de Fourier senoidal da função constante 1.

Exercícios relacionados

Ache a série de Fourier de senos de , a série de cossenos de , determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de e da soma de cada uma das séries encontradas:
Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:
Obtenha a série de Fourier da função ímpar , periódica de período 4 , e que satisfaça se e se .
Encontre tais que