Mostre que:
sen
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a equação é verdadeira para
. Isso está ligado ao estudo de séries de Fourier, especificamente à representação de funções como somas infinitas de senos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série de Fourier e como derivar os coeficientes dessa série para a função constante 1 no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Fourier. É uma forma de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos com diferentes frequências. No nosso caso, estamos lidando apenas com senos, então estamos falando de uma série de Fourier senoidal. A ideia é encontrar uma série que, quando somada infinitamente, iguale a função que estamos representando—iniciando, neste caso, a função constante 1.
Passo 3
Como estamos representando uma função constante usando apenas termos de seno, precisamos calcular os coeficientes que multiplicam cada seno na série. A fórmula geral para os coeficientes
em uma série de Fourier senoidal é:
Aqui,
é a função que queremos representar, que no nosso caso é
. Vamos calcular
para termos ímpares, já que somente senos de múltiplos ímpares aparecem na série dada.
Passo 4
Vamos calcular
para
. Substituindo
na fórmula, temos:
A integral de de 0 a
é:
Sabendo que
e
, temos:
Para
ímpar,
, então:
Passo 5
Substituindo de volta na fórmula de
:
Isso vale para
ímpar (1, 3, 5, …). Portanto, a série de Fourier para
no intervalo
é:
Resposta
Conseguimos mostrar que para
usando a série de Fourier senoidal da função constante 1.
Exercícios relacionados
Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas:
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Obtenha a série de Fourier da função ímpar
, periódica de período 4 , e que satisfaça
se
e
se
.
Encontre
tais que