Ache a série de Fourier de f(x), determine soma da série e faça os gráficos de f e da função soma da série encontrada: f(x) = |cos(x)|, -pi < x <= pi

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier da função no intervalo . Vamos precisar usar o conceito de série de Fourier para funções periódicas, especificamente aproveitando que é uma função par, o que simplifica os cálculos porque só teremos termos de cosseno na série.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para é:
Como é uma função par, podemos simplificar a integral de a para duas vezes a integral de a :
Na verdade, a função tem periodos onde a integral não anula, então recalculando:

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes para os termos de cosseno. A fórmula é:
Como é igual a para e igual a para , podemos dividir a integral:
Usando identidades trigonométricas e simplificando, descobrimos que apenas os termos pares contribuem, resultando em:
para ímpar.

Passo 4

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier para fica:
Isso significa que a função pode ser representada como uma soma infinita de cossenos com coeficientes decrescentes.

Passo 5

Para determinar a soma da série de Fourier, reconhecemos que a série converge para a própria função dentro do intervalo . Portanto, a soma da série de Fourier é .

Resposta

A série de Fourier de no intervalo é dada por:
A soma da série coincide com a função original:

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