Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Fourier da função
no intervalo
. Vamos precisar usar o conceito de série de Fourier para funções periódicas, especificamente aproveitando que
é uma função par, o que simplifica os cálculos porque só teremos termos de cosseno na série.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para
é:
Como
é uma função par, podemos simplificar a integral de
a
para duas vezes a integral de
a
:
Na verdade, a função
tem periodos onde a integral não anula, então recalculando:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
para os termos de cosseno. A fórmula é:
Como
é igual a
para
e igual a
para
, podemos dividir a integral:
Usando identidades trigonométricas e simplificando, descobrimos que apenas os termos pares contribuem, resultando em:
para
ímpar.
Passo 4
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier para
fica:
Isso significa que a função
pode ser representada como uma soma infinita de cossenos com coeficientes decrescentes.
Passo 5
Para determinar a soma da série de Fourier, reconhecemos que a série converge para a própria função
dentro do intervalo
. Portanto, a soma da série de Fourier é
.
Resposta
A série de Fourier de
no intervalo
é dada por:
A soma da série coincide com a função original: