Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que:
Isso está relacionado à Série de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir
em uma série de cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática como
pode ser expressa como uma série de cossenos usando a Série de Fourier. A ideia é encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelos cossenos apropriados, somem exatamente
no intervalo dado.
Passo 3
A fórmula geral para a Série de Fourier de uma função par (como
) no intervalo
a
é:
Onde os coeficientes
e
são dados por:
Passo 4
Vamos calcular
para
:
Como
é uma função par, podemos simplificar:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
De novo, por
ser par:
Passo 6
Utilizando integração por partes duas vezes, podemos resolver a integral:
Primeira integração por partes:
Deixe
e
.
Então,
e
.
Aplicando:
Segunda integração por partes para
:
Deixe
e
.
Então,
e
.
Aplicando:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Avaliado de
a
:
Como
e
:
Passo 8
Portanto, os coeficientes
ficam:
Passo 9
Finalmente, juntando tudo na Série de Fourier:
Que é exatamente o que queríamos mostrar!
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas:
Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Mostre que:
;
Mostre que: