Mostre que: x^2 = (pi^2 / 3) + 4(-cos(x) + (cos(2x) / 2^2) - (cos(3x) / 3^2) + ...), -pi < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que:
Isso está relacionado à Série de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir em uma série de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática como pode ser expressa como uma série de cossenos usando a Série de Fourier. A ideia é encontrar coeficientes que, quando multiplicados pelos cossenos apropriados, somem exatamente no intervalo dado.

Passo 3

A fórmula geral para a Série de Fourier de uma função par (como ) no intervalo a é:
Onde os coeficientes e são dados por:

Passo 4

Vamos calcular para :
Como é uma função par, podemos simplificar:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
De novo, por ser par:

Passo 6

Utilizando integração por partes duas vezes, podemos resolver a integral:
Primeira integração por partes:
Deixe e .
Então, e .
Aplicando:
Segunda integração por partes para :
Deixe e .
Então, e .
Aplicando:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Avaliado de a :
Como e :

Passo 8

Portanto, os coeficientes ficam:

Passo 9

Finalmente, juntando tudo na Série de Fourier:
Que é exatamente o que queríamos mostrar!

Resposta

Assim, mostramos que:

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