Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier de senos e cossenos para a função
no intervalo
. Para isso, vamos usar as fórmulas da série de Fourier, que envolve integrar a função multiplicada por senos e cossenos. Depois, vamos determinar a soma de cada série e fazer os gráficos da função original e das somas das séries encontradas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a série de Fourier de cossenos para a função
. A série de Fourier de cossenos é usada quando a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo y. A fórmula geral é:
Aqui,
e os coeficientes são dados por:
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos
:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Primeira parte:
Avaliado de 0 a
:
Segunda parte:
Avaliado de 0 a
:
Então:
Passo 5
Simplificando
:
Mas como
é 1 para n ímpar e 0 para par, podemos escrever:
Passo 6
Agora, montamos a série de Fourier de cossenos:
Passo 7
Vamos agora encontrar a série de Fourier de senos para a mesma função
. A série de Fourier de senos é usada quando a função é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem. A fórmula geral é:
Com
, os coeficientes são:
Passo 8
Calculando
:
Primeira parte:
Avaliado de 0 a
:
Segunda parte:
Avaliado de 0 a
:
Então:
Passo 9
Simplificando
:
Para
ímpar,
, e para
par,
. Então:
Passo 10
Montamos a série de Fourier de senos:
Passo 11
Agora, vamos determinar a soma de cada uma das séries. Para a série de cossenos, a soma é:
E para a série de senos:
Passo 12
Finalmente, faremos os gráficos da função original
e das somas das séries de cossenos e senos encontradas. Para visualizar, podemos usar uma ferramenta de plotagem como o Matplotlib em Python ou qualquer software de matemática que preferir.
Resposta
Encontramos as séries de Fourier de cossenos e senos para
no intervalo
, com suas respectivas somas. Os gráficos da função original e das somas das séries podem ser plotados para visualizar a aproximação da função original pelas séries de Fourier.
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Ache a série de Fourier de
, determine soma da série e faça os gráficos de
e da função soma da série encontrada:
Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas:
Mostre que:
Mostre que:
;