Ache a série de Fourier de senos de , a série de cossenos de , determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de e da soma de cada uma das séries encontradas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier de senos e cossenos para a função no intervalo . Para isso, vamos usar as fórmulas da série de Fourier, que envolve integrar a função multiplicada por senos e cossenos. Depois, vamos determinar a soma de cada série e fazer os gráficos da função original e das somas das séries encontradas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a série de Fourier de cossenos para a função . A série de Fourier de cossenos é usada quando a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo y. A fórmula geral é:
Aqui, e os coeficientes são dados por:

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos :
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Primeira parte:
Avaliado de 0 a :
Segunda parte:
Avaliado de 0 a :
Então:

Passo 5

Simplificando :
Mas como é 1 para n ímpar e 0 para par, podemos escrever:
éíé

Passo 6

Agora, montamos a série de Fourier de cossenos:
í

Passo 7

Vamos agora encontrar a série de Fourier de senos para a mesma função . A série de Fourier de senos é usada quando a função é ímpar, ou seja, simétrica em relação à origem. A fórmula geral é:
Com , os coeficientes são:

Passo 8

Calculando :
Primeira parte:
Avaliado de 0 a :
Segunda parte:
Avaliado de 0 a :
Então:

Passo 9

Simplificando :
Para ímpar, , e para par, . Então:
éíé

Passo 10

Montamos a série de Fourier de senos:

Passo 11

Agora, vamos determinar a soma de cada uma das séries. Para a série de cossenos, a soma é:
í
E para a série de senos:

Passo 12

Finalmente, faremos os gráficos da função original e das somas das séries de cossenos e senos encontradas. Para visualizar, podemos usar uma ferramenta de plotagem como o Matplotlib em Python ou qualquer software de matemática que preferir.

Resposta

Encontramos as séries de Fourier de cossenos e senos para no intervalo , com suas respectivas somas. Os gráficos da função original e das somas das séries podem ser plotados para visualizar a aproximação da função original pelas séries de Fourier.

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Ache a série de Fourier de , determine soma da série e faça os gráficos de e da função soma da série encontrada:
Ache a série de Fourier de senos de , a série de cossenos de , determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de e da soma de cada uma das séries encontradas:
Mostre que:
Mostre que: ;