Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier juntos! O problema nos dá uma função
definida por partes no intervalo de
a
. Nosso objetivo é encontrar a Série de Fourier dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes da série e entender um pouco sobre funções pares e ímpares, que facilitam nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso ajuda a determinar quais termos da Série de Fourier vão existir. Uma função é par se
e ímpar se
.
Vamos verificar:
Comparando com
:
Vemos que
e
, então a função não é nem par nem ímpar. Isso significa que teremos que calcular tanto os coeficientes de cosseno (
) quanto de seno (
).
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente
, que representa a componente constante da série. A fórmula para
é:
Vamos calcular:
Passo 4
Agora vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Então,
para todos os
.
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
Dividindo a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Finalmente, podemos escrever a Série de Fourier da função
utilizando os coeficientes que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
A Série de Fourier da função
no intervalo
é:
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Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
c)
c)
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
a)
a)
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
d)
d)
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
m)
m)