Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
b) f(x) = { -1, -pi < x < 0; 2, 0 <= x < pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier juntos! O problema nos dá uma função definida por partes no intervalo de a . Nosso objetivo é encontrar a Série de Fourier dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes da série e entender um pouco sobre funções pares e ímpares, que facilitam nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso ajuda a determinar quais termos da Série de Fourier vão existir. Uma função é par se e ímpar se .
Vamos verificar:
Comparando com :
Vemos que e , então a função não é nem par nem ímpar. Isso significa que teremos que calcular tanto os coeficientes de cosseno ( ) quanto de seno ( ).

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a componente constante da série. A fórmula para é:
Vamos calcular:

Passo 4

Agora vamos calcular os coeficientes para . A fórmula é:
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Então, para todos os .

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes para . A fórmula é:
Dividindo a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Sabemos que , então:

Passo 6

Finalmente, podemos escrever a Série de Fourier da função utilizando os coeficientes que encontramos:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A Série de Fourier da função no intervalo é:

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