Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier! A questão pede para encontrar a Série de Fourier da função definida no intervalo , onde:
A matéria que vamos utilizar aqui é a Série de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, precisamos calcular os coeficientes , e .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Onde é o período da função. No nosso caso, o intervalo é de a , então .
Passo 3
Calculando :
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes , que são os coeficientes dos termos de cosseno na série. A fórmula é:
Simplificando para :
Passo 5
Como para e para , o cálculo fica:
Vamos resolver essa integral por partes.
Passo 6
Aplicando integração por partes, onde:
Então:
Como e , temos:
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes , que correspondem aos termos de seno na série. A fórmula é:
Simplificando para :
Novamente, como para e para :
Passo 8
Vamos resolver essa integral também por partes:
Então:
Como :
Passo 9
Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a Série de Fourier: