Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
d) f(x) = { 0, -1 < x < 0; x, 0 <= x < 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier! A questão pede para encontrar a Série de Fourier da função definida no intervalo , onde:
A matéria que vamos utilizar aqui é a Série de Fourier, que é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, precisamos calcular os coeficientes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula para é:
Onde é o período da função. No nosso caso, o intervalo é de a , então .

Passo 3

Calculando :

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , que são os coeficientes dos termos de cosseno na série. A fórmula é:
Simplificando para :

Passo 5

Como para e para , o cálculo fica:
Vamos resolver essa integral por partes.

Passo 6

Aplicando integração por partes, onde:
Então:
Como e , temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes , que correspondem aos termos de seno na série. A fórmula é:
Simplificando para :
Novamente, como para e para :

Passo 8

Vamos resolver essa integral também por partes:
Então:
Como :

Passo 9

Agora que temos todos os coeficientes, podemos montar a Série de Fourier:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A Série de Fourier da função no intervalo é:

Exercícios relacionados

Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
b) f(x) = { -1, -pi < x < 0; 2, 0 <= x < pi }
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
c) {sen(n x)}, n=1,2,3,...,[0, pi/2]
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
m) f(x) = { 1, -5 < x < 0; 1 + x, 0 <= x < 5 }
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
a) f(x) = sen(3x)