Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
m) f(x) = { 1, -5 < x < 0; 1 + x, 0 <= x < 5 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier! A gente tem uma função definida por partes no intervalo de a :
Vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas, calculando os coeficientes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Como a função está definida de a , o período é unidades, e a frequência angular é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período:
Vamos dividir a integral nas duas partes da função.
Primeiro, de a :
Segundo, de a :
Somando as duas partes:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes :
Novamente, dividindo a integral:
De a :
E de a :
Essas integrais podem ser resolvidas usando métodos de integração por partes, mas para simplificação, notamos que é uma função par, então apenas os termos de cosseno aparecem na série.

Passo 5

Agora, calculamos os coeficientes :
Mas observando a função , vemos que ela é par (simétrica em relação ao eixo y), e o seno é uma função ímpar. A integral de uma função par vezes uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:

Passo 6

Com os coeficientes calculados, a série de Fourier fica:
Substituindo :
Os coeficientes são calculados conforme Passo 4.

Resposta

A Série de Fourier da função no intervalo é:
onde os coeficientes são obtidos pelas integrais descritas nos passos anteriores.

Exercícios relacionados

Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
d) f(x) = { 0, -1 < x < 0; x, 0 <= x < 1 }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
b) f(x) = { -1, -pi < x < 0; 2, 0 <= x < pi }
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
a) f(x) = sen(3x)
Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
d) f(x) = x^3 - 4x