Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
m)
m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier! A gente tem uma função definida por partes no intervalo de
a
:
Vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas, calculando os coeficientes
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Como a função está definida de
a
, o período
é
unidades, e a frequência angular
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no período:
Vamos dividir a integral nas duas partes da função.
Primeiro, de
a
:
Segundo, de
a
:
Somando as duas partes:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
:
Novamente, dividindo a integral:
De
a
:
E de
a
:
Essas integrais podem ser resolvidas usando métodos de integração por partes, mas para simplificação, notamos que
é uma função par, então apenas os termos de cosseno aparecem na série.
Passo 5
Agora, calculamos os coeficientes
:
Mas observando a função
, vemos que ela é par (simétrica em relação ao eixo y), e o seno é uma função ímpar. A integral de uma função par vezes uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Portanto:
Passo 6
Com os coeficientes calculados, a série de Fourier fica:
Substituindo
:
Os coeficientes
são calculados conforme Passo 4.
Resposta
A Série de Fourier da função
no intervalo
é:
onde os coeficientes
são obtidos pelas integrais descritas nos passos anteriores.
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d)
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b)
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Determine se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas.
a)
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d)
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