Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
c) {sen(n x)}, n=1,2,3,...,[0, pi/2]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que o conjunto de funções , onde , é um conjunto ortogonal no intervalo [0, pi/2]. Além disso, precisamos encontrar a norma de cada função desse conjunto. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear aplicados a espaços de funções, especificamente o conceito de ortogonalidade e norma em espaços de funções.

Passo 2

Para provar que as funções são ortogonais, precisamos verificar que o produto interno de duas funções diferentes do conjunto é igual a zero. O produto interno de duas funções f(x) e g(x) no intervalo é definido por:
No nosso caso, queremos mostrar que para ,

Passo 3

Vamos calcular a integral:
Podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais de são:
Aplicando isso, obtemos:

Passo 5

Agora, avaliamos os limites:
Para :
Para x = 0:
Portanto, a expressão se torna:

Passo 6

Observe que, para , as expressões e serão múltiplos de pi / 2, e o seno de múltiplos ímpares de pi / 2 é zero. Portanto, toda a expressão acima será igual a zero.
Isso demonstra que:

Passo 7

Com isso, mostramos que as funções são ortogonais no intervalo [0, pi/2].
Agora, vamos encontrar a norma de cada função, que é dada por:

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Nós podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral se torna:

Passo 9

Calculando cada parte:
E para a segunda integral:
Portanto, a integral total é:

Passo 10

Assim, a norma de cada função é:

Resposta

O conjunto , para , é ortogonal no intervalo [0, pi/2], e a norma de cada função do conjunto é .

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
a) {sen(x), sen(3x), sen(5x), ...}, [0, pi/2]
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
e) f1(x) = cos(x), f2(x) = sen^2(x), [0, pi]
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
b) f(x) = { -1, -pi < x < 0; 2, 0 <= x < pi }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
d) f(x) = { 0, -1 < x < 0; x, 0 <= x < 1 }