Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos mostrar que o conjunto de funções , onde , é um conjunto ortogonal no intervalo . Além disso, precisamos encontrar a norma de cada função desse conjunto. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear aplicados a espaços de funções, especificamente o conceito de ortogonalidade e norma em espaços de funções.
Passo 2
Para provar que as funções são ortogonais, precisamos verificar que o produto interno de duas funções diferentes do conjunto é igual a zero. O produto interno de duas funções e no intervalo é definido por:
No nosso caso, queremos mostrar que para ,
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
As integrais de são:
Aplicando isso, obtemos:
Passo 5
Agora, avaliamos os limites:
Para :
Para :
Portanto, a expressão se torna:
Passo 6
Observe que, para , as expressões e serão múltiplos de , e o seno de múltiplos ímpares de é zero. Portanto, toda a expressão acima será igual a zero.
Isso demonstra que:
Passo 7
Com isso, mostramos que as funções são ortogonais no intervalo .
Agora, vamos encontrar a norma de cada função, que é dada por:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Nós podemos usar a identidade trigonométrica:
Então, a integral se torna:
Passo 9
Calculando cada parte:
E para a segunda integral:
Portanto, a integral total é:
Passo 10
Assim, a norma de cada função é:
Resposta
O conjunto , para , é ortogonal no intervalo [0, pi/2], e a norma de cada função do conjunto é .