Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
a)
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de funções trigonométricas:
definidas no intervalo
. Precisamos mostrar que essas funções são ortogonais nesse intervalo e também encontrar a norma de cada uma delas. Para isso, vamos usar conceitos de funções ortogonais e cálculo de normas utilizando integrais.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa que as funções são ortogonais. Duas funções
e
são ortogonais no intervalo
se o produto interno delas for zero, ou seja:
No nosso caso, queremos mostrar que qualquer par de funções diferentes do conjunto
satisfaz essa condição no intervalo
.
Passo 3
Vamos calcular a integral do produto de duas funções diferentes do conjunto, digamos
e
, onde
e
são inteiros não negativos e
.
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Simplificando os argumentos das cossenos:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Ao avaliar em
e
, percebemos que ambos os termos de seno se anulam:
Para
:
Para
:
Portanto, a integral resulta em zero, confirmando que as funções são ortogonais.
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma de cada função do conjunto. A norma de uma função
é dada por:
Para
, temos:
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Integrando termo a termo:
Portanto, a norma é:
Resposta
O conjunto
é ortogonal no intervalo
e a norma de cada função é
.
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e)
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c)
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Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
c)
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Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
b)
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