Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
a) {sen(x), sen(3x), sen(5x), ...}, [0, pi/2]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de funções trigonométricas: definidas no intervalo . Precisamos mostrar que essas funções são ortogonais nesse intervalo e também encontrar a norma de cada uma delas. Para isso, vamos usar conceitos de funções ortogonais e cálculo de normas utilizando integrais.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa que as funções são ortogonais. Duas funções e são ortogonais no intervalo se o produto interno delas for zero, ou seja:
No nosso caso, queremos mostrar que qualquer par de funções diferentes do conjunto satisfaz essa condição no intervalo .

Passo 3

Vamos calcular a integral do produto de duas funções diferentes do conjunto, digamos e , onde e são inteiros não negativos e .
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Simplificando os argumentos das cossenos:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Ao avaliar em e , percebemos que ambos os termos de seno se anulam:
Para :
Para :
Portanto, a integral resulta em zero, confirmando que as funções são ortogonais.

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de cada função do conjunto. A norma de uma função é dada por:
Para , temos:
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Integrando termo a termo:
Portanto, a norma é:

Resposta

O conjunto é ortogonal no intervalo e a norma de cada função é .

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