Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
c) f(x) = { 1, -1 < x < 0; x, 0 <= x < 1 }

Passo 1

Beleza, então temos que encontrar a Série de Fourier para a função definida no intervalo , onde:
Vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas, calcular os coeficientes , e , e montar a série final.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que a função é periódica com período , então . A série de Fourier para uma função periódica par ou ímpar leva em conta os coeficientes e .

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função no intervalo:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
A primeira integral:
Pois para todo inteiro .
A segunda integral, usando integração por partes, onde e :
Avaliado de 0 a 1:
Como , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
A primeira integral:
A segunda integral, usando integração por partes, onde e :
Avaliado de 0 a 1:
Portanto:

Resposta

A Série de Fourier da função no intervalo é:

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Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
a) H0(x)=1, H1(x)=2 x, H2(x)=4 x^2-2 ; w(x)=e^(x^2), (-infinito, infinito)
Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
b) L0(x)=1, L1(x)=-x+1, L2(x)=1/2 x^2 - 2 x + 1 ; w(x)=e^(-x), [0, infinito)
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
f) f(x) = { pi^2, -pi < x < 0; pi^2 - x^2, 0 <= x < pi }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
g) f(x) = x + pi, -pi < x < pi