Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se as funções
,
e
são ortogonais em relação à função peso
no intervalo de
a
. Isso faz parte do conteúdo de Ortogonalidade de Funções, um conceito importante em matemática, especialmente em áreas como análise de Fourier e espaço de funções. Para resolver, vamos precisar calcular os produtos internos das funções usando a função peso dada e verificar se eles são iguais a zero, o que confirma a ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são ortogonais. Duas funções
e
são ortogonais em relação a uma função peso
no intervalo
se o produto interno delas for zero. Matematicamente, isso é representado por:
Então, vamos calcular esses integrais para cada par de funções.
Passo 3
Vamos começar calculando
:
No entanto, a função
cresce muito rapidamente conforme
vai para
, tornando este integral divergente, ou seja, ele não converge para um número finito.
Passo 4
Da mesma forma, se tentarmos calcular
ou qualquer outro par, encontraremos integrais que também não convergem devido à presença de
, que faz com que os produtos das funções cresçam exponencialmente no infinito.
Passo 5
Como os produtos internos não são finitos, não podemos concluir que as funções são ortogonais em relação à função peso
. Na verdade, a função peso usada aqui não é adequada para definir um espaço de funções onde essas polinômios seriam ortogonais, pois a integral necessária para a ortogonalidade não existe (é infinita).
Resposta
As funções
,
e
não são ortogonais em relação à função peso
no intervalo de
a
, pois os integrais que definiriam a ortogonalidade não convergem.
Exercícios relacionados
Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
b)
b)
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
b)
b)
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
c)
c)
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
f)
f)