Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
a) H0(x)=1, H1(x)=2 x, H2(x)=4 x^2-2 ; w(x)=e^(x^2), (-infinito, infinito)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se as funções , e são ortogonais em relação à função peso no intervalo de a . Isso faz parte do conteúdo de Ortogonalidade de Funções, um conceito importante em matemática, especialmente em áreas como análise de Fourier e espaço de funções. Para resolver, vamos precisar calcular os produtos internos das funções usando a função peso dada e verificar se eles são iguais a zero, o que confirma a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são ortogonais. Duas funções e são ortogonais em relação a uma função peso no intervalo se o produto interno delas for zero. Matematicamente, isso é representado por:
Então, vamos calcular esses integrais para cada par de funções.

Passo 3

Vamos começar calculando :
No entanto, a função cresce muito rapidamente conforme vai para , tornando este integral divergente, ou seja, ele não converge para um número finito.

Passo 4

Da mesma forma, se tentarmos calcular ou qualquer outro par, encontraremos integrais que também não convergem devido à presença de , que faz com que os produtos das funções cresçam exponencialmente no infinito.

Passo 5

Como os produtos internos não são finitos, não podemos concluir que as funções são ortogonais em relação à função peso . Na verdade, a função peso usada aqui não é adequada para definir um espaço de funções onde essas polinômios seriam ortogonais, pois a integral necessária para a ortogonalidade não existe (é infinita).

Resposta

As funções , e não são ortogonais em relação à função peso no intervalo de a , pois os integrais que definiriam a ortogonalidade não convergem.

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Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
b) L0(x)=1, L1(x)=-x+1, L2(x)=1/2 x^2 - 2 x + 1 ; w(x)=e^(-x), [0, infinito)
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
b) {cos(x), cos(3x), cos(5x), ...}, [0, pi/2]
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
c) f(x) = { 1, -1 < x < 0; x, 0 <= x < 1 }
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
f) f(x) = { pi^2, -pi < x < 0; pi^2 - x^2, 0 <= x < pi }