Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
a) H0(x)=1, H1(x)=2 x, H2(x)=4 x^2-2 ; w(x)=e^(x^2), (-infinito, infinito)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se as funções , e são ortogonais em relação à função peso no intervalo de a . Isso faz parte do conteúdo de Ortogonalidade de Funções, um conceito importante em matemática, especialmente em áreas como análise de Fourier e espaço de funções. Para resolver, vamos precisar calcular os produtos internos das funções usando a função peso dada e verificar se eles são iguais a zero, o que confirma a ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que duas funções são ortogonais. Duas funções e são ortogonais em relação a uma função peso no intervalo se o produto interno delas for zero. Matematicamente, isso é representado por:
Então, vamos calcular esses integrais para cada par de funções.

Passo 3

Vamos começar calculando :
No entanto, a função cresce muito rapidamente conforme vai para , tornando este integral divergente, ou seja, ele não converge para um número finito.

Passo 4

Da mesma forma, se tentarmos calcular ou qualquer outro par, encontraremos integrais que também não convergem devido à presença de , que faz com que os produtos das funções cresçam exponencialmente no infinito.

Passo 5

Como os produtos internos não são finitos, não podemos concluir que as funções são ortogonais em relação à função peso . Na verdade, a função peso usada aqui não é adequada para definir um espaço de funções onde essas polinômios seriam ortogonais, pois a integral necessária para a ortogonalidade não existe (é infinita).

Resposta

As funções , e não são ortogonais em relação à função peso no intervalo de a , pois os integrais que definiriam a ortogonalidade não convergem.

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