Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier juntos! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes no intervalo de a . A tarefa é encontrar a Série de Fourier dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos básicos de Fourier, como calcular os coeficientes , e , e montar a série com esses coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Série de Fourier. Ela é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma infinita de senos e cossenos. A fórmula geral da Série de Fourier para uma função definida no intervalo a é:
No nosso caso, , então a fórmula fica:
Agora, vamos calcular cada um desses coeficientes.
Passo 3
Calculando :
O coeficiente representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para é:
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Portanto:
Vamos calcular cada parte:
Somando:
Passo 4
Calculando :
O coeficiente é dado por:
Novamente, dividimos a integral conforme a função:
Vamos calcular cada parte:
Para a :
Sabemos que , então essa parte é zero.
Para a :
Vamos integrar termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo: pode ser resolvido por integração por partes, mas devido à simetria e às propriedades dos senos e cossenos, o resultado final será zero para .
Portanto, para todo .
Passo 5
Calculando :
O coeficiente é dado por:
Dividimos a integral conforme a função:
Vamos calcular cada parte:
Para a :
Para a :
Integrando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo: também resulta em termos que cancelam ou são proporcionais a .
Somando as duas partes, percebemos que apenas termos ímpares de contribuirão, e após simplificações, temos:
Resposta
A Série de Fourier da função dada no intervalo a é: