Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
f) f(x) = { pi^2, -pi < x < 0; pi^2 - x^2, 0 <= x < pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Série de Fourier juntos! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes no intervalo de a . A tarefa é encontrar a Série de Fourier dessa função nesse intervalo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos básicos de Fourier, como calcular os coeficientes , e , e montar a série com esses coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Série de Fourier. Ela é uma maneira de representar funções periódicas como uma soma infinita de senos e cossenos. A fórmula geral da Série de Fourier para uma função definida no intervalo a é:
No nosso caso, , então a fórmula fica:
Agora, vamos calcular cada um desses coeficientes.

Passo 3

Calculando :
O coeficiente representa a média da função no intervalo considerado. A fórmula para é:
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Portanto:
Vamos calcular cada parte:
Somando:

Passo 4

Calculando :
O coeficiente é dado por:
Novamente, dividimos a integral conforme a função:
Vamos calcular cada parte:
Para a :
Sabemos que , então essa parte é zero.
Para a :
Vamos integrar termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo: pode ser resolvido por integração por partes, mas devido à simetria e às propriedades dos senos e cossenos, o resultado final será zero para .
Portanto, para todo .

Passo 5

Calculando :
O coeficiente é dado por:
Dividimos a integral conforme a função:
Vamos calcular cada parte:
Para a :
Para a :
Integrando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo: também resulta em termos que cancelam ou são proporcionais a .
Somando as duas partes, percebemos que apenas termos ímpares de contribuirão, e após simplificações, temos:

Resposta

A Série de Fourier da função dada no intervalo a é:

Exercícios relacionados

Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
c) f(x) = { 1, -1 < x < 0; x, 0 <= x < 1 }
Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
a) H0(x)=1, H1(x)=2 x, H2(x)=4 x^2-2 ; w(x)=e^(x^2), (-infinito, infinito)
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
g) f(x) = x + pi, -pi < x < pi
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
i) f(x) = { 0, -pi <= x < 0 ; sen x, 0 <= x <= pi }