Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
b) L0(x)=1, L1(x)=-x+1, L2(x)=1/2 x^2 - 2 x + 1 ; w(x)=e^(-x), [0, infinito)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar, por integração direta, que as funções , e são ortogonais em relação à função peso no intervalo de a . Isso tudo está dentro do conteúdo de Ortogonalidade de Funções, que geralmente aparece em cursos de cálculo e análise funcional. Vamos precisar usar a definição de ortogonalidade e calcular integrais envolvendo essas funções e a função peso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem ortogonais em relação a uma função peso no intervalo dado. Basicamente, duas funções e são ortogonais em relação a no intervalo se a integral do produto delas vezes o peso for igual a zero:

Passo 3

Vamos aplicar isso às nossas funções , e com o peso no intervalo de a . Precisamos verificar se:
Se todas essas integrais forem iguais a zero, então as funções são ortogonais entre si em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
Simplificando:
Sabemos que:
çã
Então:

Passo 5

Agora, a segunda integral:
Isso se decompõe em:
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Finalmente, a terceira integral:
Vamos multiplicar os polinômios:
Agora, a integral fica:
Calculando cada termo:
Sabemos que:
Então:

Resposta

Todas as integrais resultaram em zero, portanto as funções , e são ortogonais em relação à função peso no intervalo de a .

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