Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar, por integração direta, que as funções
,
e
são ortogonais em relação à função peso
no intervalo de
a
. Isso tudo está dentro do conteúdo de Ortogonalidade de Funções, que geralmente aparece em cursos de cálculo e análise funcional. Vamos precisar usar a definição de ortogonalidade e calcular integrais envolvendo essas funções e a função peso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem ortogonais em relação a uma função peso no intervalo dado. Basicamente, duas funções
e
são ortogonais em relação a
no intervalo
se a integral do produto delas vezes o peso for igual a zero:
Passo 3
Vamos aplicar isso às nossas funções
,
e
com o peso
no intervalo de
a
. Precisamos verificar se:
Se todas essas integrais forem iguais a zero, então as funções são ortogonais entre si em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a primeira integral:
Simplificando:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Agora, a segunda integral:
Isso se decompõe em:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Finalmente, a terceira integral:
Vamos multiplicar os polinômios:
Agora, a integral fica:
Calculando cada termo:
Sabemos que:
Então:
Resposta
Todas as integrais resultaram em zero, portanto as funções
,
e
são ortogonais em relação à função peso
no intervalo de
a
.