Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
b) L0(x)=1, L1(x)=-x+1, L2(x)=1/2 x^2 - 2 x + 1 ; w(x)=e^(-x), [0, infinito)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar, por integração direta, que as funções , e são ortogonais em relação à função peso no intervalo de a . Isso tudo está dentro do conteúdo de Ortogonalidade de Funções, que geralmente aparece em cursos de cálculo e análise funcional. Vamos precisar usar a definição de ortogonalidade e calcular integrais envolvendo essas funções e a função peso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem ortogonais em relação a uma função peso no intervalo dado. Basicamente, duas funções e são ortogonais em relação a no intervalo se a integral do produto delas vezes o peso for igual a zero:

Passo 3

Vamos aplicar isso às nossas funções , e com o peso no intervalo de a . Precisamos verificar se:
Se todas essas integrais forem iguais a zero, então as funções são ortogonais entre si em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral:
Simplificando:
Sabemos que:
çã
Então:

Passo 5

Agora, a segunda integral:
Isso se decompõe em:
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Finalmente, a terceira integral:
Vamos multiplicar os polinômios:
Agora, a integral fica:
Calculando cada termo:
Sabemos que:
Então:

Resposta

Todas as integrais resultaram em zero, portanto as funções , e são ortogonais em relação à função peso no intervalo de a .

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
b) {cos(x), cos(3x), cos(5x), ...}, [0, pi/2]
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
f) f1(x) = e^x, f2(x) = sen x, [pi/4, 5pi/4]
Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
a) H0(x)=1, H1(x)=2 x, H2(x)=4 x^2-2 ; w(x)=e^(x^2), (-infinito, infinito)
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
c) f(x) = { 1, -1 < x < 0; x, 0 <= x < 1 }