Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar, por integração direta, que as funções
,
e
são ortogonais em relação à função peso
no intervalo de
a
. Isso tudo está dentro do conteúdo de Ortogonalidade de Funções, que geralmente aparece em cursos de cálculo e análise funcional. Vamos precisar usar a definição de ortogonalidade e calcular integrais envolvendo essas funções e a função peso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem ortogonais em relação a uma função peso no intervalo dado. Basicamente, duas funções
e
são ortogonais em relação a
no intervalo
se a integral do produto delas vezes o peso for igual a zero:
Passo 3
Vamos aplicar isso às nossas funções
,
e
com o peso
no intervalo de
a
. Precisamos verificar se:
Se todas essas integrais forem iguais a zero, então as funções são ortogonais entre si em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a primeira integral:
Simplificando:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Agora, a segunda integral:
Isso se decompõe em:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Finalmente, a terceira integral:
Vamos multiplicar os polinômios:
Agora, a integral fica:
Calculando cada termo:
Sabemos que:
Então:
Resposta
Todas as integrais resultaram em zero, portanto as funções
,
e
são ortogonais em relação à função peso
no intervalo de
a
.
Exercícios relacionados
Mostre que o conjunto dado de funções é ortogonal no intervalo indicado. Ache a norma de cada função do conjunto.
b)
b)
Mostre que as funções dadas são ortogonais no intervalo indicado.
f)
f)
Verifique, por integração direta, que as funções são ortogonais em relação à função peso indicada, no intervalo dado.
a)
a)
Ache a Série de Fourier no intervalo dado:
c)
c)