Mostre que: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente mostrar que, no intervalo entre 0 e π, a expressão π - x é igual a duas vezes a soma de seno de x, meia seno de 2x, um terço de seno de 3x, e assim por diante. Ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries trigonométricas, especificamente a série de Fourier para funções ímpares. Vamos precisar entender como representar funções como somas infinitas de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. É uma maneira de representar funções periódicas como a soma de funções senoidais e cossenoidais. No nosso caso, como π - x é uma função ímpar (ou seja, f(-x) = -f(x)), sua série de Fourier vai conter apenas termos de seno.

Passo 3

Vamos considerar a função definida no intervalo e estendida de forma ímpar para todo o domínio dos números reais. Isso significa que para , teremos .

Passo 4

Para encontrar a série de Fourier dessa função, usamos a fórmula geral para funções ímpares:
onde os coeficientes são dados por:

Passo 5

Vamos calcular :
Isso pode ser resolvido por integração por partes. Seja e . Então, e .

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
Continuando a integração:
Aplicando os limites de 0 a π:
Simplificando:

Passo 7

Então, o coeficiente fica:

Passo 8

Substituindo os coeficientes na série de Fourier:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Mostre que:
Ache a série de Fourier de senos de , a série de cossenos de , determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de e da soma de cada uma das séries encontradas:
Mostre que:
Verifique as seguintes igualdades, usando o exercício anterior: