Mostre que:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede pra gente mostrar que, no intervalo entre 0 e π, a expressão π - x é igual a duas vezes a soma de seno de x, meia seno de 2x, um terço de seno de 3x, e assim por diante. Ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries trigonométricas, especificamente a série de Fourier para funções ímpares. Vamos precisar entender como representar funções como somas infinitas de senos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. É uma maneira de representar funções periódicas como a soma de funções senoidais e cossenoidais. No nosso caso, como π - x é uma função ímpar (ou seja, f(-x) = -f(x)), sua série de Fourier vai conter apenas termos de seno.
Passo 3
Vamos considerar a função
definida no intervalo
e estendida de forma ímpar para todo o domínio dos números reais. Isso significa que para
, teremos
.
Passo 4
Para encontrar a série de Fourier dessa função, usamos a fórmula geral para funções ímpares:
onde os coeficientes
são dados por:
Passo 5
Vamos calcular
:
Isso pode ser resolvido por integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Passo 6
Aplicando a integração por partes:
Continuando a integração:
Aplicando os limites de 0 a π:
Simplificando:
Passo 7
Então, o coeficiente
fica:
Passo 8
Substituindo os coeficientes na série de Fourier:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Mostre que:
Ache a série de Fourier de senos de
, a série de cossenos de
, determine a soma de cada uma delas e faça os gráficos de
e da soma de cada uma das séries encontradas:
Mostre que:
Verifique as seguintes igualdades, usando o exercício anterior: