Ache a série de MacLaurin de:
(em torno de
) e encontre o intervalo de convergência e raio de convergência da série de potências encontrada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a série de MacLaurin para a função
em torno de
. Além disso, precisamos descobrir o intervalo de convergência dessa série e o raio de convergência. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de MacLaurin é uma série de potências centrada em
. Para achar a série de
, podemos usar a identidade trigonométrica:
Isso facilita porque agora temos uma expressão envolvendo
, cuja série de MacLaurin conhecemos.
Passo 3
Sabemos que a série de MacLaurin para
é:
Substituindo
por
nessa série, temos:
Passo 4
Agora, voltando à expressão de
:
Substituindo a série de
que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a série:
Esse é a forma geral da série de MacLaurin para
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência. Observando a série de
, sabemos que ela converge para todo
real, pois a série de cosseno tem raio de convergência infinito. Como a nossa série de
é uma combinação linear de termos que convergem para todo
, ela também converge para todo
.
Passo 7
Com isso, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais, ou seja,
. E como a série converge para qualquer
, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de MacLaurin de
é:
O intervalo de convergência é
e o raio de convergência é infinito.