Ache a série de MacLaurin de: f(x) = sen^2(x) (em torno de a = 0 ) e encontre o intervalo de convergência e raio de convergência da série de potências encontrada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar a série de MacLaurin para a função em torno de . Além disso, precisamos descobrir o intervalo de convergência dessa série e o raio de convergência. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de MacLaurin é uma série de potências centrada em . Para achar a série de , podemos usar a identidade trigonométrica:
Isso facilita porque agora temos uma expressão envolvendo , cuja série de MacLaurin conhecemos.

Passo 3

Sabemos que a série de MacLaurin para é:
Substituindo por nessa série, temos:

Passo 4

Agora, voltando à expressão de :
Substituindo a série de que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a série:
Esse é a forma geral da série de MacLaurin para .

Passo 6

Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência. Observando a série de , sabemos que ela converge para todo real, pois a série de cosseno tem raio de convergência infinito. Como a nossa série de é uma combinação linear de termos que convergem para todo , ela também converge para todo .

Passo 7

Com isso, o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais, ou seja, . E como a série converge para qualquer , o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de MacLaurin de é:
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é infinito.

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