Determine as derivadas parciais: z = e^(-x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e aplicar as regras de derivação parcial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é . Quando derivamos em relação a , consideramos como uma constante.
Usamos a regra da cadeia, que diz que se , então .
Aqui, . Derivando em relação a , temos:
Então, substituindo de volta na regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Mantendo a mesma função , ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Aplicando novamente a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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