Determine as derivadas parciais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e aplicar as regras de derivação parcial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Quando derivamos em relação a
, consideramos
como uma constante.
Usamos a regra da cadeia, que diz que se
, então
.
Aqui,
. Derivando
em relação a
, temos:
Então, substituindo de volta na regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Mantendo a mesma função
, ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Aplicando novamente a regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
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(em torno de
) e encontre o intervalo de convergência e raio de convergência da série de potências encontrada.
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Seja
é derivável em 2? Por quê?