Calcule onde e é dado por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas! O problema pede pra calcular a integral tripla de sobre a região definida por e . Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas porque a região tem simetria circular, o que facilita os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição indica que estamos dentro de um cilindro de raio 1. Já as condições nos dizem que varia entre e . Isso significa que a região está entre duas superfícies parabólicas.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, e o elemento de volume é .

Passo 4

Transformando as desigualdades para coordenadas cilíndricas:
E o ângulo varia de a para cobrir toda a circunferência.

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, integramos de a , de 0 a 1, e de 0 a .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 7

Substituindo na integral e integrando em :
Calculando cada parte:
Então,

Passo 8

Agora, integramos em :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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