Calcule integral triplaR f(x, y, z) d x d y d z onde f(x, y, z)=1 e R é dado por x^2+y^2 <= 1 e x^2+y^2 <= z <= 2-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas! O problema pede pra calcular a integral tripla de sobre a região definida por e . Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas porque a região tem simetria circular, o que facilita os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição indica que estamos dentro de um cilindro de raio 1. Já as condições nos dizem que varia entre e . Isso significa que a região está entre duas superfícies parabólicas.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
Nessas coordenadas, e o elemento de volume é .

Passo 4

Transformando as desigualdades para coordenadas cilíndricas:
r^2 <= 1 Rightarrow 0 <= r <= 1
r^2 <= z <= 2 - r^2
E o ângulo varia de a para cobrir toda a circunferência.

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaR 1 , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^2 - r^2 r , dz,dr,dtheta
Aqui, integramos de a , de 0 a 1, e de 0 a .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em integralr^2^2 - r^2 dz = (2 - r^2) - r^2 = 2 - 2r^2 :

Passo 7

Substituindo na integral e integrando em integral0^1 r(2 - 2r^2) , dr = 2integral0^1 r , dr - 2integral0^1 r^3 , dr :
2[ r^22 ]0^1 = 2( 12 - 0 ) = 1
Calculando cada parte:
2[ r^44 ]0^1 = 2( 14 - 0 ) = 12
Então,

Passo 8

Agora, integramos em integral0^2pi 12 , dtheta = 12 times 2pi = pi :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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