Calcule
onde
e
é dado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais triplas! O problema pede pra calcular a integral tripla de
sobre a região
definida por
e
. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas porque a região tem simetria circular, o que facilita os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A condição
indica que estamos dentro de um cilindro de raio 1. Já as condições
nos dizem que
varia entre
e
. Isso significa que a região
está entre duas superfícies parabólicas.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas,
e o elemento de volume é
.
Passo 4
Transformando as desigualdades para coordenadas cilíndricas:
E o ângulo
varia de
a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 5
Agora, configuramos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, integramos
de
a
,
de 0 a 1, e
de 0 a
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 7
Substituindo na integral e integrando em
:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 8
Agora, integramos em
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
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