Exprima cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial.
O rádio se decompõe numa razão proporcional à quantidade , presente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado está dizendo. A questão fala que o rádio (que aí representa uma quantidade Q) está se decompondo, ou seja, está diminuindo, e essa decréscimo acontece numa taxa que é proporcional à quantidade presente. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais, que são ótimas para modelar como as coisas mudam ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “a taxa de decomposição é proporcional à quantidade Q”. Isso quer dizer que a velocidade com que o rádio está se decompondo depende diretamente de quanto ainda tem lá. Matematicamente, a taxa de mudança da quantidade Q em relação ao tempo (que representamos como ) é igual a alguma constante multiplicada por Q.

Passo 3

Então, se chamarmos a constante de proporcionalidade de , podemos escrever essa relação assim:
Como o rádio está se decompondo, a quantidade Q está diminuindo. Por isso, a constante na verdade será negativa. Vamos ajustar isso:
Aqui, é uma constante positiva que representa a taxa de decomposição.

Resposta

A equação diferencial que representa a decomposição do rádio é:
onde é a constante de proporcionalidade positiva.

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Cem gramas de açúcar, em água, estão sendo transformadas em dextrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada em minutos.
Calcule , pela definição:
Calcule onde e é dado por e .
Ache a série de MacLaurin de: (em torno de ) e encontre o intervalo de convergência e raio de convergência da série de potências encontrada.