Ache a série de potências das seguintes funções e determine o seu raio de convergência:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente encontrar a série de potências da função
e também determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e a série de Taylor para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função exponencial
. A série de Taylor para
é dada por:
Isso significa que podemos escrever
como a soma infinita de
para
começando em 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos ver a parte
. Sabemos que
também tem uma série de Taylor semelhante:
Multiplicando essa série por 2, temos:
Passo 4
Agora, vamos somar as duas séries que encontramos para
e
:
Como os termos são semelhantes, podemos combiná-los em uma única série:
Passo 5
Para determinar o raio de convergência dessa série, vamos observar que tanto a série de
quanto a de
têm raio de convergência infinito. Isso porque as séries exponenciais convergem para qualquer valor de
. Portanto, a série resultante também terá um raio de convergência infinito.
Resposta
A série de potências da função
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.