1,0 Ache a série de potências das seguintes funções e determine o seu raio de convergência:
b) f(x) = e^x + 2 e^(-x).

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente encontrar a série de potências da função e também determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries de potências e a série de Taylor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função exponencial . A série de Taylor para é dada por:
Isso significa que podemos escrever como a soma infinita de para começando em 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos ver a parte . Sabemos que também tem uma série de Taylor semelhante:
Multiplicando essa série por 2, temos:

Passo 4

Agora, vamos somar as duas séries que encontramos para e :
Como os termos são semelhantes, podemos combiná-los em uma única série:

Passo 5

Para determinar o raio de convergência dessa série, vamos observar que tanto a série de quanto a de têm raio de convergência infinito. Isso porque as séries exponenciais convergem para qualquer valor de . Portanto, a série resultante também terá um raio de convergência infinito.

Resposta

A série de potências da função é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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