Um chapéu de festa em formato de cone, feito de papelão, tem 10 cm de raio e 30 cm de altura. Quando está cheio de cerveja, vaza à taxa de . A que taxa o nível de cerveja cai (a) quando a cerveja tem 15 cm de profundidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um chapéu de festa em formato de cone que está cheio de cerveja e vazando. A gente vai precisar usar cálculo, mais especificamente taxas relacionadas, para descobrir a que velocidade o nível da cerveja está diminuindo quando a profundidade é de 15 cm. Então, vamos usar conceitos de geometria dos cones e derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o formato do chapéu. Ele é um cone com raio de 10 cm e altura de 30 cm. A cerveja dentro do chapéu também forma um cone menor cuja altura (profundidade) vamos chamar de e o raio dessa parte de .

Passo 3

Como os dois cones são semelhantes, a razão entre os raios e as alturas é constante. Então, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume da cerveja em termos de . A fórmula do volume de um cone é:
Substituindo por :

Passo 5

Sabemos que o volume está diminuindo à taxa de (o sinal negativo indica que o volume está diminuindo). Queremos encontrar quando .
Vamos diferenciar a expressão do volume em relação ao tempo :

Passo 6

Agora, isolamos :
Substituindo e :

Passo 7

Simplificando os números:

Resposta

Quando a cerveja tem 15 cm de profundidade, o nível de cerveja está caindo a uma taxa de , aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
Ache a série de potências das seguintes funções e determine o seu raio de convergência:
b) .
A região delimitada pelos gráficos de e pelas retas verticais e , gira em torno do eixo . Determine o volume do sólido resultante.
Encontre a área da região limitada pela parábola e pela reta