Um chapéu de festa em formato de cone, feito de papelão, tem 10 cm de raio e 30 cm de altura. Quando está cheio de cerveja, vaza à taxa de
. A que taxa o nível de cerveja cai (a) quando a cerveja tem 15 cm de profundidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um chapéu de festa em formato de cone que está cheio de cerveja e vazando. A gente vai precisar usar cálculo, mais especificamente taxas relacionadas, para descobrir a que velocidade o nível da cerveja está diminuindo quando a profundidade é de 15 cm. Então, vamos usar conceitos de geometria dos cones e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o formato do chapéu. Ele é um cone com raio de 10 cm e altura de 30 cm. A cerveja dentro do chapéu também forma um cone menor cuja altura (profundidade) vamos chamar de
e o raio dessa parte de
.
Passo 3
Como os dois cones são semelhantes, a razão entre os raios e as alturas é constante. Então, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume da cerveja em termos de
. A fórmula do volume de um cone é:
Substituindo
por
:
Passo 5
Sabemos que o volume está diminuindo à taxa de
(o sinal negativo indica que o volume está diminuindo). Queremos encontrar
quando
.
Vamos diferenciar a expressão do volume em relação ao tempo
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Substituindo
e
:
Passo 7
Simplificando os números:
Resposta
Quando a cerveja tem 15 cm de profundidade, o nível de cerveja está caindo a uma taxa de
, aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
b)
A região delimitada pelos gráficos de
e pelas retas verticais
e
, gira em torno do eixo
. Determine o volume do sólido resultante.
Encontre a área da região limitada pela parábola
e pela reta