(1,0) Verifique se as séries seguintes convergem absolutamente:
b) sumj=1^infty (-1)^j e^1 / jj^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a série sumj=1^infty (-1)^j e^1 / jj^3 converge absolutamente. Isso está no ramo de séries numéricas, mais especificamente sobre convergência de séries. Para isso, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e quais testes podemos usar para determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Uma série sum aj converge absolutamente se a série dos valores absolutos sum |aj| também converge. Isso é importante porque se uma série converge absolutamente, então ela converge normalmente, independentemente de os termos serem positivos ou negativos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Os termos da série são aj = (-1)^j e^1 / jj^3. Para verificar a convergência absoluta, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumj=1^infty | (-1)^j e^1 / jj^3 | = sumj=1^infty e^1 / jj^3

Passo 4

Nosso próximo passo é analisar a série sumj=1^infty e^1 / jj^3. Note que e^1/j pode ser aproximado por uma série de Taylor para valores de j grandes. Para j grande, 1/j é pequeno, então podemos usar a aproximação e^1/j approx 1 + 1j.

Passo 5

Com essa aproximação, a série fica aproximadamente:
sumj=1^infty 1 + 1jj^3 = sumj=1^infty ( 1j^3 + 1j^4 )

Passo 6

Sabemos que as séries sumj=1^infty 1j^3 e sumj=1^infty 1j^4 são séries p com p = 3 e p = 4, respectivamente. Séries p convergem se p > 1, o que é o nosso caso.

Passo 7

Como ambas as séries sum 1j^3 e sum 1j^4 convergem, a série original sum e^1 / jj^3 também converge pela comparação com séries p convergentes.

Resposta

A série sumj=1^infty (-1)^j e^1 / jj^3 converge absolutamente.

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