Verifique se as séries seguintes convergem absolutamente:
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a série converge absolutamente. Isso está no ramo de séries numéricas, mais especificamente sobre convergência de séries. Para isso, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e quais testes podemos usar para determinar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque se uma série converge absolutamente, então ela converge normalmente, independentemente de os termos serem positivos ou negativos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Os termos da série são . Para verificar a convergência absoluta, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Passo 4
Nosso próximo passo é analisar a série . Note que pode ser aproximado por uma série de Taylor para valores de grandes. Para grande, é pequeno, então podemos usar a aproximação .
Passo 5
Com essa aproximação, a série fica aproximadamente:
Passo 6
Sabemos que as séries e são séries p com e , respectivamente. Séries p convergem se , o que é o nosso caso.
Passo 7
Como ambas as séries e convergem, a série original também converge pela comparação com séries p convergentes.