Verifique se as séries seguintes convergem absolutamente:
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a série converge absolutamente. Isso está no ramo de séries numéricas, mais especificamente sobre convergência de séries. Para isso, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e quais testes podemos usar para determinar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque se uma série converge absolutamente, então ela converge normalmente, independentemente de os termos serem positivos ou negativos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Os termos da série são . Para verificar a convergência absoluta, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Passo 4
Nosso próximo passo é analisar a série sumj=1^infty e^1 / jj^3. Note que e^1/j pode ser aproximado por uma série de Taylor para valores de j grandes. Para j grande, 1/j é pequeno, então podemos usar a aproximação e^1/j approx 1 + 1j.
Passo 5
Com essa aproximação, a série fica aproximadamente:
Sabemos que as séries sumj=1^infty 1j^3 e sumj=1^infty 1j^4 são séries p com p = 3 e p = 4, respectivamente. Séries p convergem se p > 1, o que é o nosso caso.
Passo 7
Como ambas as séries sum 1j^3 e sum 1j^4 convergem, a série original sum e^1 / jj^3 também converge pela comparação com séries p convergentes.
Resposta
A série sumj=1^infty (-1)^j e^1 / jj^3 converge absolutamente.