Verifique se as séries seguintes convergem absolutamente:
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a série converge absolutamente. Isso está no ramo de séries numéricas, mais especificamente sobre convergência de séries. Para isso, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e quais testes podemos usar para determinar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque se uma série converge absolutamente, então ela converge normalmente, independentemente de os termos serem positivos ou negativos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Os termos da série são . Para verificar a convergência absoluta, vamos considerar a série dos valores absolutos:

Passo 4

Nosso próximo passo é analisar a série . Note que pode ser aproximado por uma série de Taylor para valores de grandes. Para grande, é pequeno, então podemos usar a aproximação .

Passo 5

Com essa aproximação, a série fica aproximadamente:

Passo 6

Sabemos que as séries e são séries p com e , respectivamente. Séries p convergem se , o que é o nosso caso.

Passo 7

Como ambas as séries e convergem, a série original também converge pela comparação com séries p convergentes.

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados

Verifique se as séries seguintes convergem absolutamente:
a)
Verifique a convergência ou divergência das séries seguintes, escreva claramente qual teste foi utilizado:
f)
no item f) considere .
Ache a série de potências das seguintes funções e determine o seu raio de convergência:
b) .
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.