Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial que descreve a trajetória de um objeto no espaço: . O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta tangente a essa trajetória no ponto específico quando . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e equações paramétricas de retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na trajetória quando . Isso significa substituir na função :
Sabemos que e . Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dá o vetor velocidade ou a direção da trajetória em qualquer ponto . A derivada de é:
Isso significa que, para cada , nos dá o vetor tangente à trajetória naquele ponto.
Passo 4
Vamos calcular substituindo na derivada:
Usando os valores trigonométricos que já conhecemos:
Esse vetor será a direção da nossa reta tangente.
Passo 5
Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral de uma reta no espaço é:
Onde é o ponto na reta e são as componentes do vetor direção, e é o parâmetro.
Resposta
A equação da reta tangente à trajetória de no ponto é: