Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial que descreve a trajetória de um objeto no espaço: . O exercício pede para a gente encontrar a equação da reta tangente a essa trajetória no ponto específico quando . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na trajetória quando . Isso significa substituir na função :
Sabemos que e . Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dá o vetor velocidade ou a direção da trajetória em qualquer ponto . A derivada de é:
Isso significa que, para cada , nos dá o vetor tangente à trajetória naquele ponto.

Passo 4

Vamos calcular substituindo na derivada:
Usando os valores trigonométricos que já conhecemos:
Esse vetor será a direção da nossa reta tangente.

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A forma geral de uma reta no espaço é:
Onde é o ponto na reta e são as componentes do vetor direção, e é o parâmetro.

Resposta

A equação da reta tangente à trajetória de no ponto é:

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b) .
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b)
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