Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
d. y'' + y = e^t cos(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem. Para resolver isso, a gente vai precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por uma combinação de funções seno e cosseno:
Onde e são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Observando o lado direito da equação, vemos que ele é da forma , então vamos supor uma solução particular da forma:
Aqui, e são as constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Simplificando:

Passo 5

Substituímos e na equação original :
Agrupando os termos:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes das funções e de cada lado da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 7

Agora que encontramos e , a solução particular fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
a. y'' + 3y' + 2y = t^2,
Ache a série de Taylor de: f(x) = raiz(x) em torno de a = 4 e encontre o intervalo de convergência e raio de convergência da série de potências encontrada.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
f. y'' - 4 y' = t e^(4 t)
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
q. y'' - y' - 2y = e^t + t