Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
d.
d.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem. Para resolver isso, a gente vai precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é dada por uma combinação de funções seno e cosseno:
Onde
e
são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar. Observando o lado direito da equação, vemos que ele é da forma
, então vamos supor uma solução particular da forma:
Aqui,
e
são as constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original
:
Agrupando os termos:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes das funções
e
de cada lado da equação:
Resolvendo esse sistema de equações:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 7
Agora que encontramos
e
, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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a. ,
a.
Ache a série de Taylor de:
em torno de
e encontre o intervalo de convergência e raio de convergência da série de potências encontrada.
Em cada uma das seguintes equações diferenciais não-homogêneas de segunda ordem, encontre a solução geral.
f.
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q.
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