Ache o sistema de equações associado a cada uma das matrizes aumentadas e resolver o sistema:
(b) [llll|l1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 4 & 3 & 2 & 1] Resp.: (z+2 w-3,-2 z-3 w+4, z, w) ; z, w in R

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz aumentada que representa um sistema de equações lineares. O conteúdo que vamos usar aqui é álgebra linear, especificamente a resolução de sistemas lineares usando matrizes. Precisamos associar a matriz a um sistema de equações e resolver esse sistema para encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos associar a matriz aumentada a um sistema de equações. A matriz dada é:
[llll|l 1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 4 & 3 & 2 & 1 ]
Cada linha antes da barra vertical representa os coeficientes das variáveis nas equações, e a última coluna após a barra representa os termos constantes. Vamos chamar as variáveis de 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5 5x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4 = 1 , , e . Então, o sistema de equações fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver esse sistema. Vamos usar o método de eliminação para simplificar as equações. Primeiro, vamos eliminar uma das variáveis multiplicando a primeira equação por 5 e subtraindo a segunda equação da primeira multiplicada.
Multiplicando a primeira equação por 5:
5x1 + 10x2 + 15x3 + 20x4 = 25
Subtraindo a segunda equação original:
(5x1 + 10x2 + 15x3 + 20x4) - (5x1 + 4x2 + 3x3 + 2x4) = 25 - 1
O que resulta em:
6x2 + 12x3 + 18x4 = 24

Passo 4

Vamos simplificar essa nova equação dividindo todos os termos por 6:
x2 + 2x3 + 3x4 = 4
Agora, temos um sistema simplificado:
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5 x2 + 2x3 + 3x4 = 4

Passo 5

Vamos resolver o segundo sistema. Da segunda equação, podemos isolar x2 = 4 - 2x3 - 3x4 :
x1 + 2(4 - 2x3 - 3x4) + 3x3 + 4x4 = 5
Agora, substituímos essa expressão para na primeira equação:

Passo 6

Expandindo e simplificando:
x1 + 8 - 4x3 - 6x4 + 3x3 + 4x4 = 5
x1 + (-x3 - 2x4) + 8 = 5
x1 - x3 - 2x4 = -3
Isolando x1 = x3 + 2x4 - 3 :

Passo 7

Agora, temos as expressões para l x1 = z + 2w - 3 x2 = -2z -3w +4 x3 = z x4 = w e em termos de e . Vamos chamar e , onde e são números reais quaisquer ( ). Assim, as soluções do sistema são:

Resposta

(z + 2w - 3, -2z - 3w + 4, z, w) ; z, w in R

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