Verificar se U+W é soma direta dos subespaços U e W, sendo:
a) U=(x, y, z) in R^3 mid x=0 e W=(x, y, z) in R^3 mid y=z=0;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a soma dos subespaços e é uma soma direta. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de subespaços vetoriais e somas diretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma direta e como verificar isso usando as propriedades dos subespaços.

Passo 2

Vamos começar identificando os subespaços e descritos na questão:
  • : Este conjunto representa todos os vetores em onde a primeira coordenada é igual a zero. Ou seja, é o plano que contém todos os vetores com .
  • : Este conjunto representa todos os vetores em onde as coordenadas e são iguais a zero. Portanto, é a linha que se estende ao longo do eixo .

Passo 3

Para verificar se é uma soma direta, precisamos verificar duas coisas:
  1. Soma : Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em .
  2. Interseção : Para que a soma seja direta, a única maneira de um vetor estar tanto em quanto em é se ele for o vetor zero.

Passo 4

Vamos calcular a interseção (0, y, z) = (x, 0, 0) :
  • Um vetor em 0 = x y = 0 z = 0 tem a forma .
  • Um vetor em tem a forma .
Para que um vetor pertença a , ele deve satisfazer ambas as condições:
Isso implica que:

Passo 5

As únicas soluções para essas equações são U cap W = (0, 0, 0) , e . Portanto, o único vetor que está tanto em quanto em é o vetor zero:

Passo 6

Como contém apenas o vetor zero, a soma é uma soma direta. Isso significa que cada vetor em pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor em e um vetor em .

Resposta

Sim, é uma soma direta dos subespaços e .

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