Verificar se é soma direta dos subespaços e , sendo:
a) e ;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a soma dos subespaços e é uma soma direta. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de subespaços vetoriais e somas diretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma direta e como verificar isso usando as propriedades dos subespaços.
Passo 2
Vamos começar identificando os subespaços e descritos na questão:
: Este conjunto representa todos os vetores em onde a primeira coordenada é igual a zero. Ou seja, é o plano que contém todos os vetores com .
: Este conjunto representa todos os vetores em onde as coordenadas e são iguais a zero. Portanto, é a linha que se estende ao longo do eixo .
Passo 3
Para verificar se é uma soma direta, precisamos verificar duas coisas:
Soma : Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em .
Interseção : Para que a soma seja direta, a única maneira de um vetor estar tanto em quanto em é se ele for o vetor zero.
Passo 4
Vamos calcular a interseção :
Um vetor em tem a forma .
Um vetor em tem a forma .
Para que um vetor pertença a , ele deve satisfazer ambas as condições:
Isso implica que:
Passo 5
As únicas soluções para essas equações são , e . Portanto, o único vetor que está tanto em quanto em é o vetor zero:
Passo 6
Como contém apenas o vetor zero, a soma é uma soma direta. Isso significa que cada vetor em pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor em e um vetor em .