Verificar se
é soma direta dos subespaços
e
, sendo:
a)
e
;
a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a soma dos subespaços
e
é uma soma direta. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de subespaços vetoriais e somas diretas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa soma direta e como verificar isso usando as propriedades dos subespaços.
Passo 2
Vamos começar identificando os subespaços
e
descritos na questão:
-
: Este conjunto representa todos os vetores em onde a primeira coordenada é igual a zero. Ou seja, é o plano que contém todos os vetores com . -
: Este conjunto representa todos os vetores em onde as coordenadas e são iguais a zero. Portanto, é a linha que se estende ao longo do eixo .
Passo 3
Para verificar se
é uma soma direta, precisamos verificar duas coisas:
-
Soma
: Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor em e um vetor em . -
Interseção
: Para que a soma seja direta, a única maneira de um vetor estar tanto em quanto em é se ele for o vetor zero.
Passo 4
Vamos calcular a interseção
:
- Um vetor em
tem a forma . - Um vetor em
tem a forma .
Para que um vetor pertença a
, ele deve satisfazer ambas as condições:
Isso implica que:
Passo 5
As únicas soluções para essas equações são
,
e
. Portanto, o único vetor que está tanto em
quanto em
é o vetor zero:
Passo 6
Como
contém apenas o vetor zero, a soma
é uma soma direta. Isso significa que cada vetor em
pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor em
e um vetor em
.
Resposta
Sim,
é uma soma direta dos subespaços
e
.