Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
© Existe exatamente uma transformação linear
tal que
, quaisquer que sejam os vetores i.e rent
.
© Existe exatamente uma transformação linear
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta se existe exatamente uma transformação linear
que satisfaz a condição
para quaisquer vetores
e
em
. Vamos usar conceitos de transformações lineares e suas propriedades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a condição dada na questão:
.
Pela aditividade da transformação linear, sabemos que:
E também:
Passo 4
Igualando as duas expressões:
Vamos simplificar isolando
:
Passo 5
Chegamos a
para qualquer vetor
em
. Isso significa que a única transformação linear que satisfaz a condição dada é a transformação nula, que envia todo vetor de
para o vetor nulo em
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Existe exatamente uma transformação linear
que satisfaz
, e essa transformação é a transformação nula.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
d) .
d)
Seja
tal que
. Mostre que
.
Seja
, em que
. Mostre que
converge para
e que
. Conclua daí que
e que
. Esse resultado vale se
?
Ache o sistema de equações associado a cada uma das matrizes aumentadas e resolver o sistema:
(b) Resp.:
(b)