Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
© Existe exatamente uma transformação linear T: V W tal que T(u+v)=T(u-v), quaisquer que sejam os vetores i.e rent V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se existe exatamente uma transformação linear que satisfaz a condição para quaisquer vetores e em . Vamos usar conceitos de transformações lineares e suas propriedades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição dada na questão: T(u + v) = T(u) + T(v) .
Pela aditividade da transformação linear, sabemos que:
T(u - v) = T(u) - T(v)
E também:

Passo 4

Igualando as duas expressões:
T(u) + T(v) = T(u) - T(v)
Vamos simplificar isolando T(v) + T(v) = 0 :
2T(v) = 0
T(v) = 0

Passo 5

Chegamos a para qualquer vetor em . Isso significa que a única transformação linear que satisfaz a condição dada é a transformação nula, que envia todo vetor de para o vetor nulo em .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Existe exatamente uma transformação linear que satisfaz , e essa transformação é a transformação nula.

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