Seja , em que . Mostre que converge para e que . Conclua daí que e que . Esse resultado vale se ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função , onde é um número real. A gente precisa mostrar que essa série converge quando , calcular a derivada de , e usar isso para concluir que . Por fim, verificar se esse resultado vale para sendo um número complexo. Vamos precisar usar conceitos de séries de potências, testes de convergência e regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a série converge para . A série dada é uma série de potências na forma , onde . Para verificar a convergência, vamos usar o Teste da Razão.
Passo 3
O Teste da Razão diz que consideramos o limite . Se | an+1an | = | alpha - nn + 1 | |z| , a série converge absolutamente.
Vamos calcular:
Então:
Passo 4
Para L = limn to infty | -11 | |z| = |z| grande, , então o limite fica:
Como queremos para convergência, isso acontece quando .
Passo 5
Agora que mostramos que a série converge para f'(z) = sumn=1^infty alpha(alpha-1) ldots (alpha - n + 1)n! n z^n-1 = sumn=1^infty alpha(alpha-1) ldots (alpha - n + 1)(n-1)! z^n-1 , vamos calcular a derivada de f'(z) = summ=0^infty alpha(alpha-1) ldots (alpha - m)m! z^m . A derivada de uma série de potências pode ser calculada termo a termo dentro do raio de convergência.
Aqui usamos a propriedade da série original, ajustando os índices e fatores.
Passo 7
Agora, temos:
f'(z) = alpha f(z)1+z
Vamos reorganizar essa equação:
f'(z)f(z) = alpha1+z
Isso é uma equação diferencial. Para resolver, podemos integrar ambos os lados:
integral f'(z)f(z) dz = integral alpha1+z dz
ln|f(z)| = alpha ln|1+z| + C
Exponentiando ambos os lados:
f(z) = e^C (1+z)^alpha
Como f(z) = (1+z)^alpha (substituindo na série dá 1), temos . Portanto:
Passo 8
Finalmente, a questão pergunta se esse resultado vale para . A resposta é sim, desde que consideremos . As propriedades usadas na demonstração continuam válidas para complexo, já que não dependemos de ser real durante os passos.
Resposta
A função converge para e satisfaz . Isso leva à conclusão de que . Esse resultado é válido mesmo quando é um número complexo.