Seja f(z)=1+sumn=1^infty alpha(alpha-1) ldots(alpha-n+1)n! z^n, em que alpha in R. Mostre que f(z) converge para |z|<1 e que f^prime(z)=alpha f(z)1+z. Conclua daí que [(1+z)^-alpha f(z)]^prime=0 e que f(z)=(1+z)^alpha. Esse resultado vale se alpha in C ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função , onde é um número real. A gente precisa mostrar que essa série converge quando , calcular a derivada de , e usar isso para concluir que . Por fim, verificar se esse resultado vale para sendo um número complexo. Vamos precisar usar conceitos de séries de potências, testes de convergência e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a série converge para . A série dada é uma série de potências na forma , onde . Para verificar a convergência, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 3

O Teste da Razão diz que consideramos o limite an+1an = alpha(alpha-1) ldots (alpha - (n+1) + 1)(n+1)! cdot n!alpha(alpha-1) ldots (alpha - n + 1) = alpha - nn + 1 z . Se | an+1an | = | alpha - nn + 1 | |z| , a série converge absolutamente.
Vamos calcular:
Então:

Passo 4

Para L = limn to infty | -11 | |z| = |z| grande, , então o limite fica:
Como queremos para convergência, isso acontece quando .

Passo 5

Agora que mostramos que a série converge para f'(z) = sumn=1^infty alpha(alpha-1) ldots (alpha - n + 1)n! n z^n-1 = sumn=1^infty alpha(alpha-1) ldots (alpha - n + 1)(n-1)! z^n-1 , vamos calcular a derivada de f'(z) = summ=0^infty alpha(alpha-1) ldots (alpha - m)m! z^m . A derivada de uma série de potências pode ser calculada termo a termo dentro do raio de convergência.
Vamos fazer uma mudança de índice :

Passo 6

Observamos que:
f'(z) = alpha summ=0^infty (alpha - 1)(alpha - 2) ldots (alpha - m)m! z^m = alpha f(z)1+z
Aqui usamos a propriedade da série original, ajustando os índices e fatores.

Passo 7

Agora, temos:
f'(z) = alpha f(z)1+z
Vamos reorganizar essa equação:
f'(z)f(z) = alpha1+z
Isso é uma equação diferencial. Para resolver, podemos integrar ambos os lados:
integral f'(z)f(z) dz = integral alpha1+z dz
ln|f(z)| = alpha ln|1+z| + C
Exponentiando ambos os lados:
f(z) = e^C (1+z)^alpha
Como f(z) = (1+z)^alpha (substituindo na série dá 1), temos . Portanto:

Passo 8

Finalmente, a questão pergunta se esse resultado vale para . A resposta é sim, desde que consideremos . As propriedades usadas na demonstração continuam válidas para complexo, já que não dependemos de ser real durante os passos.

Resposta

A função converge para e satisfaz . Isso leva à conclusão de que . Esse resultado é válido mesmo quando é um número complexo.

Exercícios relacionados

Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
© Existe exatamente uma transformação linear T: V W tal que T(u+v)=T(u-v), quaisquer que sejam os vetores i.e rent V.
Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de P2(R).
d) W=p(x)=a0+a1 x+a2 x^2 mid a2 >= 0.
Ache o sistema de equações associado a cada uma das matrizes aumentadas e resolver o sistema:
(b) [llll|l1 & 2 & 3 & 4 & 5 5 & 4 & 3 & 2 & 1] Resp.: (z+2 w-3,-2 z-3 w+4, z, w) ; z, w in R
Sejam A=(1,1), B=(2,3), C=(-4,1) e D=(-2,1) pontos do plano. Determine a projeção ortogonal do vetor C D sobre a reta r que passa pelos pontos A e B.