Sejam e pontos do plano. Determine a projeção ortogonal do vetor sobre a reta r que passa pelos pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no plano: , , e . A tarefa é encontrar a projeção ortogonal do vetor sobre a reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e projeção vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que representa a reta , ou seja, o vetor . Para fazer isso, subtraímos as coordenadas do ponto das coordenadas do ponto :
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor . Da mesma forma, subtraímos as coordenadas do ponto das coordenadas do ponto :
Passo 4
Para projetar sobre , usamos a fórmula da projeção vetorial:
Aqui, “” representa o produto escalar entre dois vetores.
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar :
E o produto escalar :
Passo 6
Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
Resposta
A projeção ortogonal do vetor sobre a reta é o vetor .