Sejam A=(1,1), B=(2,3), C=(-4,1) e D=(-2,1) pontos do plano. Determine a projeção ortogonal do vetor C D sobre a reta r que passa pelos pontos A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro pontos no plano: , , e . A tarefa é encontrar a projeção ortogonal do vetor sobre a reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e projeção vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor que representa a reta AB = B - A = (2-1, 3-1) = (1, 2) , ou seja, o vetor . Para fazer isso, subtraímos as coordenadas do ponto das coordenadas do ponto :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor CD = D - C = (-2 - (-4), 1 - 1) = (2, 0) . Da mesma forma, subtraímos as coordenadas do ponto das coordenadas do ponto :

Passo 4

Para projetar ProjAB CD = ( CD cdot AB AB cdot AB ) AB sobre , usamos a fórmula da projeção vetorial:
Aqui, “ ” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar CD cdot AB = (2)(1) + (0)(2) = 2 + 0 = 2 :
AB cdot AB = (1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5
E o produto escalar :

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula da projeção:
ProjAB CD = ( 25 ) AB = ( 25 ) (1, 2) = ( 25, 45 )

Resposta

A projeção ortogonal do vetor sobre a reta é o vetor .

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