Ache a solução de
Alembert para o problema
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas parciais, chamada de equação da onda. O problema pede para usar a solução de D’Alembert, que é uma técnica específica para resolver esse tipo de equação. Para isso, vamos precisar identificar os parâmetros da equação e aplicar a fórmula da solução de D’Alembert passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
. Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
. Essa é uma forma da equação da onda, que descreve como ondas se propagam.
Passo 3
A equação da onda geral tem a forma
, onde
é a velocidade da onda. Comparando com a nossa equação
, percebemos que
. Então, a velocidade
é
, porque
.
Passo 4
Agora, vamos lembrar da solução de D’Alembert para a equação da onda. A fórmula é:
Onde:
-
é a condição inicial , -
é a condição inicial da derivada no tempo , -
é a velocidade da onda.
Passo 5
No nosso problema, temos:
-
, - ,
-
.
Vamos substituir esses valores na fórmula de D’Alembert:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de
:
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Resposta
A solução de D’Alembert para o problema dado é:
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Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Prove as seguintes afirmações
Se então
ou
, logo
.
Se
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
,
Classifique as Equações Diferenciais seguindo os critérios de ordem e o grau: