Ache a solução de Alembert para o problema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que envolve derivadas parciais, chamada de equação da onda. O problema pede para usar a solução de D’Alembert, que é uma técnica específica para resolver esse tipo de equação. Para isso, vamos precisar identificar os parâmetros da equação e aplicar a fórmula da solução de D’Alembert passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos: . Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a segunda derivada de em relação ao tempo . Essa é uma forma da equação da onda, que descreve como ondas se propagam.

Passo 3

A equação da onda geral tem a forma , onde é a velocidade da onda. Comparando com a nossa equação , percebemos que . Então, a velocidade é , porque .

Passo 4

Agora, vamos lembrar da solução de D’Alembert para a equação da onda. A fórmula é:
Onde:
  • é a condição inicial ,
  • é a condição inicial da derivada no tempo ,
  • é a velocidade da onda.

Passo 5

No nosso problema, temos:
  • ,
  • ,
  • .
Vamos substituir esses valores na fórmula de D’Alembert:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade:
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A solução de D’Alembert para o problema dado é:

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Prove as seguintes afirmações
Se então ou , logo .
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
,
Classifique as Equações Diferenciais seguindo os critérios de ordem e o grau: