Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial com a condição inicial . O conteúdo aqui envolve séries de potências e resolução de equações diferenciais usando essas séries. Vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e como derivar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :

Passo 3

Agora, derivamos essa série termo a termo para obter :
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

A equação diferencial nos diz que . Substituindo as séries, temos:

Passo 5

Para que as duas séries sejam iguais para todos os , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais. Portanto:

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

A condição inicial nos dá:

Passo 8

Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes:
E assim por diante, seguindo o padrão:

Passo 9

Portanto, a solução em série é:

Passo 10

Reconhecemos essa série como a expansão de . Então, podemos escrever a soma da série na forma fechada:

Passo 11

Quanto à convergência, a série de converge para todo real, ou seja, o conjunto de valores de para os quais a série converge é .

Resposta

A solução em série é , válida para todo .

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