Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
com a condição inicial
. O conteúdo aqui envolve séries de potências e resolução de equações diferenciais usando essas séries. Vamos precisar lembrar como expandir funções em séries e como derivar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Passo 3
Agora, derivamos essa série termo a termo para obter
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
A equação diferencial nos diz que
. Substituindo as séries, temos:
Passo 5
Para que as duas séries sejam iguais para todos os
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais. Portanto:
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
A condição inicial
nos dá:
Passo 8
Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes:
E assim por diante, seguindo o padrão:
Passo 9
Portanto, a solução em série é:
Passo 10
Reconhecemos essa série como a expansão de
. Então, podemos escrever a soma da série na forma fechada:
Passo 11
Quanto à convergência, a série de
converge para todo
real, ou seja, o conjunto de valores de
para os quais a série converge é
.
Resposta
A solução em série é
, válida para todo
.
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Alembert para o problema
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Classifique as Equações Diferenciais seguindo os critérios de ordem e o grau:
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.