Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
Passo 1
Vamos lá! Temos a equação diferencial
com a condição inicial
. O que queremos é encontrar uma solução em série de potências para essa equação em torno de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de potências e métodos para resolver equações diferenciais usando essas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
. Ou seja:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada dessa série em relação a
:
Observe que começamos a soma de
porque a derivada de
(que está multiplicada por
) é zero.
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial dada:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Para igualar os termos das séries, vamos ajustar os índices. No lado esquerdo, fazemos a substituição
:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesma potência de
:
Passo 6
Resolvemos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes
. Rearranjando a equação:
Começamos com a condição inicial
, o que nos dá
.
Calculando os primeiros coeficientes:
Percebemos que apenas os termos de índice par são diferentes de zero.
Passo 7
Observamos que a série resultante se assemelha à expansão da função exponencial. De fato, a solução geral da equação
é:
Resposta
A solução em série da equação diferencial
com
é:
Essa série converge para todos os valores de
reais, ou seja, para
. A soma da série na forma fechada é
.
Exercícios relacionados
Prove as seguintes afirmações
Se então
ou
, logo
.
Se
Encontre a área sob um arco da cicloide com equações paramétricas
.
Ache a solução de
Alembert para o problema
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto
adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
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