Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.

Passo 1

Vamos lá! Temos a equação diferencial com a condição inicial . O que queremos é encontrar uma solução em série de potências para essa equação em torno de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de potências e métodos para resolver equações diferenciais usando essas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de . Ou seja:
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada dessa série em relação a :
Observe que começamos a soma de porque a derivada de (que está multiplicada por ) é zero.

Passo 4

Substituímos e na equação diferencial dada:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Para igualar os termos das séries, vamos ajustar os índices. No lado esquerdo, fazemos a substituição :
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesma potência de :

Passo 6

Resolvemos a relação de recorrência para encontrar os coeficientes . Rearranjando a equação:
Começamos com a condição inicial , o que nos dá .
Calculando os primeiros coeficientes:
ãã
Percebemos que apenas os termos de índice par são diferentes de zero.

Passo 7

Observamos que a série resultante se assemelha à expansão da função exponencial. De fato, a solução geral da equação é:

Resposta

A solução em série da equação diferencial com é:
Essa série converge para todos os valores de reais, ou seja, para . A soma da série na forma fechada é .

Exercícios relacionados

Prove as seguintes afirmações
Se então ou , logo .
Encontre a área sob um arco da cicloide com equações paramétricas .
Ache a solução de Alembert para o problema
Obtenha soluções em série para cada uma das seguintes equações em torno de um ponto adequado usando o valor de a se indicado. Em cada caso determine o conjunto de valores de x para os quais as séries convergem e, se possível, a soma da série na forma fechada.
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