Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(h)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu. A gente precisa encontrar uma função
que satisfaz a equação
e que, além disso, passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é
. Para isso, dividimos todos os termos da equação original por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Podemos simplificar a fração usando decomposição em frações parciais:
Resolvendo para
e
:
Para
:
Para
:
Então:
Portanto, o fator integrante é:
Como
e
são positivos no intervalo considerado, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante
:
Já que multiplicamos pela
, a equação fica:
Ou seja:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
:
Simplificando a fração:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
e
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
c) derivada de
no ponto
Verifique a aproximaçao linear dada em
.
Encontre os números críticos da função
Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(i)
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