Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu. A gente precisa encontrar uma função que satisfaz a equação e que, além disso, passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos usar o método das equações diferenciais lineares, que envolve encontrar um fator integrante para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é . Para isso, dividimos todos os termos da equação original por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Podemos simplificar a fração usando decomposição em frações parciais:
Resolvendo para e :
Para :
Para :
Então:
Portanto, o fator integrante é:
Como e são positivos no intervalo considerado, podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante :
Já que multiplicamos pela , a equação fica:
Ou seja:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para :
Simplificando a fração:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo e :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
c) derivada de no ponto
Verifique a aproximaçao linear dada em .
Encontre os números críticos da função
Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(i)