Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
c) derivada de f(x)=x^2 no ponto a=1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função f^prime(a) = lim h 0 f(a+h) - f(a)h e precisamos encontrar a sua derivada no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada através do limite do quociente de Newton:
Aqui, vamos precisar entender como essa fórmula funciona para calcular a derivada.

Passo 2

Vamos substituir f^prime(1) = lim h 0 f(1+h) - f(1)h e na fórmula da derivada:

Passo 3

Agora, calculamos f^prime(1) = lim h 0 (1 + 2h + h^2) - 1h e :
Substituindo na expressão da derivada:

Passo 4

Simplificamos a expressão:
f^prime(1) = lim h 0 2h + h^2h
Podemos fatorar f^prime(1) = lim h 0 h(2 + h)h no numerador:
f^prime(1) = lim h 0 (2 + h)
Agora, cancelamos o no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, aplicamos o limite substituindo f^prime(1) = 2 + 0 = 2 por 0:

Resposta

A derivada de no ponto é igual a 2.

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