Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(i) cos(t) dy/dt + sen(t) y = 1, y(0) = 0

Passo 1

Beleza! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso tá dentro da matéria de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Pra resolver isso, a gente vai usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear. A gente divide tudo por cos(t) para isolar :
Simplificando , que é igual a tan t, a equação fica:

Passo 3

Agora, identificamos os termos para aplicar o fator integrante. A equação está no formato:
Onde e . O próximo passo é calcular o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Integrando tan t, a gente sabe que:
Então, o fator integrante fica:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
Integrando, temos:

Passo 7

Resolvemos para y(t) dividindo ambos os lados por sec(t):

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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