Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(i)
(i)
Passo 1
Beleza! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso tá dentro da matéria de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Pra resolver isso, a gente vai usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear. A gente divide tudo por
para isolar
:
Simplificando
, que é igual a
, a equação fica:
Passo 3
Agora, identificamos os termos para aplicar o fator integrante. A equação está no formato:
Onde
e
. O próximo passo é calcular o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Integrando
, a gente sabe que:
Então, o fator integrante fica:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Integrando, temos:
Passo 7
Resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(h)
(h)
Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(j) para
(j)
Mostre que toda solução da EDO
onde
é um número real positivo e
é um número real qualquer, tende a zero quando
tende para o infinito.