Mostre que toda solução da EDO
y' + a y = b e^{-a x}
onde a é um número real positivo e b é um número real qualquer, tende a zero quando x tende para o infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do primeiro grau:
Aqui, a é um número real positivo e b é qualquer número real. Nosso objetivo é mostrar que, conforme x vai para o infinito, a solução y dessa equação tende a zero. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver EDOs lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão:
No nosso caso, e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante, mu(x), é dado por:
Substituindo :

Passo 3

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
Onde C é a constante de integração. Integrando:

Passo 4

Para encontrar y, isolamos a função:
Agora, queremos ver o comportamento de y quando x vai para o infinito. Vamos analisar cada parte da expressão:
  • tende a zero quando , porque o expoente é negativo e grande.
  • cresce linearmente com x, mas multiplicado por algo que tende a zero.

Passo 5

Multiplicando por , temos uma expressão que tende a zero, já que a parte exponencial domina o crescimento linear. Portanto:

Resposta

Toda solução da EDO dada tende a zero quando x tende para o infinito.

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