Mostre que toda solução da EDO
onde
é um número real positivo e
é um número real qualquer, tende a zero quando
tende para o infinito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do primeiro grau:
Aqui,
é um número real positivo e
é qualquer número real. Nosso objetivo é mostrar que, conforme
vai para o infinito, a solução
dessa equação tende a zero. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bacana para resolver EDOs lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão:
No nosso caso,
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar toda a equação para facilitar a resolução. O fator integrante,
, é dado por:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Integrando:
Passo 4
Para encontrar
, isolamos a função:
Agora, queremos ver o comportamento de
quando
vai para o infinito. Vamos analisar cada parte da expressão:
-
tende a zero quando , porque o expoente é negativo e grande. -
cresce linearmente com , mas multiplicado por algo que tende a zero.
Passo 5
Multiplicando
por
, temos uma expressão que tende a zero, já que a parte exponencial domina o crescimento linear. Portanto:
Resposta
Toda solução da EDO dada tende a zero quando
tende para o infinito.
Exercícios relacionados
Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(j) para
(j)
Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(i)
(i)
Resolva os seguintes Problemas de Cauchy:
(4) .
(4)
Encontre uma função cujo quadrado mais o quadrado da sua derivada seja 1.