Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(j) para

Passo 1

Beleza, a gente tem uma equação diferencial para resolver com a condição inicial . A equação é:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de separação de variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar isolado. Começamos movendo os termos:

Passo 3

Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :
Podemos simplificar isso dividindo cada termo no numerador por :

Passo 4

Vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Agora, podemos escrever a equação na forma:
Isso nos sugere que podemos separar as variáveis, colocando tudo que envolve de um lado e tudo que envolve do outro.

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados por e para separar:
No entanto, isso não está simplificando diretamente, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja . Então, .
Substituindo na equação original:

Passo 8

Rearranjando a equação para isolar :
Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 9

Agora, temos uma equação linear na forma , onde:
Vamos encontrar o fator integrante :

Passo 10

Multiplicamos a equação linear por :
Isso simplifica para:

Passo 11

Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição , , temos:
Voltando para :

Passo 12

Lembrando que , temos:
Resolvendo para :

Passo 13

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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(4) .