Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(j)
para
(j)
Passo 1
Beleza, a gente tem uma equação diferencial para resolver com a condição inicial
. A equação é:
Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e técnicas de separação de variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. Começamos movendo os termos:
Passo 3
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Podemos simplificar isso dividindo cada termo no numerador por
:
Passo 4
Vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Agora, podemos escrever a equação na forma:
Isso nos sugere que podemos separar as variáveis, colocando tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro.
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados por
e
para separar:
No entanto, isso não está simplificando diretamente, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja
. Então,
.
Substituindo na equação original:
Passo 8
Rearranjando a equação para isolar
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, temos uma equação linear na forma
, onde:
Vamos encontrar o fator integrante
:
Passo 10
Multiplicamos a equação linear por
:
Isso simplifica para:
Passo 11
Integrando ambos os lados:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Voltando para
:
Passo 12
Lembrando que
, temos:
Resolvendo para
:
Passo 13
Aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Ache a solução da equação diferencial de acordo com o valor inicial
(i)
(i)
Encontre os números críticos da função
Mostre que toda solução da EDO
onde
é um número real positivo e
é um número real qualquer, tende a zero quando
tende para o infinito.
Resolva os seguintes Problemas de Cauchy:
(4) .
(4)