Resolva os seguintes Problemas de Cauchy:
(4)
.
(4)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de Cauchy dada por:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária não linear. Para resolver, precisaremos usar técnicas de manipulação algébrica e possivelmente uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Adicionamos
a ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por 2 para resolver para
:
Passo 3
Agora, observamos que a equação ainda está complicada devido ao termo
. Vamos tentar simplificar a equação multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 4
Para facilitar a resolução, vamos considerar uma substituição. Seja
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Rearranjando para
:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Multiplicamos ambos os lados por 3 para simplificar:
Passo 6
Agora, fatoramos
:
Simplificamos a expressão dentro do parêntese:
Passo 7
Podemos escrever a equação na forma linear:
Aqui, identificamos a equação linear de primeira ordem na forma
.
Passo 8
Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Onde
.
Calculamos a integral:
Então,
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante
:
Substituindo
:
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Simplificamos a integral:
Essa integral pode ser complexa e pode requerer métodos avançados ou aproximações para ser resolvida.
Resposta
Devido à complexidade da equação diferencial não linear apresentada, a solução exata pode não ser expressa em termos de funções elementares. Portanto, a solução geral envolve métodos avançados e possivelmente soluções numéricas. Com a condição inicial
, a solução particular pode ser encontrada utilizando técnicas específicas de integração ou ferramentas computacionais.
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Mostre que toda solução da EDO
onde
é um número real positivo e
é um número real qualquer, tende a zero quando
tende para o infinito.
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(j) para
(j)
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.