Resolva os seguintes Problemas de Cauchy:
(4) .

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de Cauchy dada por:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária não linear. Para resolver, precisaremos usar técnicas de manipulação algébrica e possivelmente uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Adicionamos a ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por 2 para resolver para :

Passo 3

Agora, observamos que a equação ainda está complicada devido ao termo . Vamos tentar simplificar a equação multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos considerar uma substituição. Seja . Então, derivando ambos os lados em relação a :
Rearranjando para :

Passo 5

Substituindo na equação original:
Multiplicamos ambos os lados por 3 para simplificar:

Passo 6

Agora, fatoramos :
Simplificamos a expressão dentro do parêntese:

Passo 7

Podemos escrever a equação na forma linear:
Aqui, identificamos a equação linear de primeira ordem na forma .

Passo 8

Para resolver, encontramos o fator integrante :
Onde .
Calculamos a integral:
Então,

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante :
Substituindo :

Passo 10

Integrando ambos os lados:
Simplificamos a integral:
Essa integral pode ser complexa e pode requerer métodos avançados ou aproximações para ser resolvida.

Resposta

Devido à complexidade da equação diferencial não linear apresentada, a solução exata pode não ser expressa em termos de funções elementares. Portanto, a solução geral envolve métodos avançados e possivelmente soluções numéricas. Com a condição inicial , a solução particular pode ser encontrada utilizando técnicas específicas de integração ou ferramentas computacionais.

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