Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui! A gente precisa resolver uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso envolve conhecimento de equações diferenciais separáveis, onde a gente consegue separar as variáveis
e
pra integrar cada lado da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. A equação está assim:
Podemos reescrever
como
, então temos:
Vamos multiplicar ambos os lados por
e
para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, a gente integra os dois lados:
Vamos integrar cada lado:
- O lado esquerdo:
- O lado direito:
Podemos juntar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 4
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Tirando a raiz quadrada, temos:
Como a solução pode ser positiva ou negativa, a gente vai determinar o sinal e a constante usando a condição inicial.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Simplificando:
Para que a igualdade faça sentido, a gente escolhe o sinal negativo e
, então
.
Resposta
A solução explícita do problema é:
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Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
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Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e
, para
.