Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui! A gente precisa resolver uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso envolve conhecimento de equações diferenciais separáveis, onde a gente consegue separar as variáveis e pra integrar cada lado da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . A equação está assim:
Podemos reescrever como , então temos:
Vamos multiplicar ambos os lados por e para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, a gente integra os dois lados:
Vamos integrar cada lado:
  • O lado esquerdo:
  • O lado direito:
Podemos juntar as constantes e em uma única constante :

Passo 4

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Tirando a raiz quadrada, temos:
Como a solução pode ser positiva ou negativa, a gente vai determinar o sinal e a constante usando a condição inicial.

Passo 5

Aplicando a condição inicial :
Simplificando:
Para que a igualdade faça sentido, a gente escolhe o sinal negativo e , então .

Resposta

A solução explícita do problema é:

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Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
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Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Encontre soluções para os problemas de valor inicial
e , para .