Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa resolver a equação diferencial:
Além disso, temos que identificar as regiões no plano onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas. Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais para resolver isso. Precisamos entender como separar as variáveis e garantir que as condições do teorema sejam atendidas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. A equação é:
Isso é uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados por para deixar os termos com de um lado e os termos com do outro:
Agora, reescrevemos como , usando a regra da cadeia da derivada.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 6

Agora, vamos discutir as regiões onde o Teorema de Existência e Unicidade se aplica. Esse teorema garante uma solução única para a equação diferencial na região onde a função e sua derivada parcial em relação a , , são contínuas.

Passo 7

Para que seja contínua, não pode ser zero, pois teríamos uma divisão por zero. Portanto, a região onde o teorema se aplica é quando . Além disso, para ser contínua, novamente deve ser diferente de zero.

Passo 8

Resumindo, as regiões do plano onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas são aquelas onde . Ou seja, todo o plano menos a linha onde .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
E as regiões no plano onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas são todas as regiões onde é diferente de zero, ou seja, .

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Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para .
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
.
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.