Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa resolver a equação diferencial:
Além disso, temos que identificar as regiões no plano
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas. Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais para resolver isso. Precisamos entender como separar as variáveis e garantir que as condições do teorema sejam atendidas.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. A equação é:
Isso é uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados por
para deixar os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Agora, reescrevemos
como
, usando a regra da cadeia da derivada.
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos discutir as regiões onde o Teorema de Existência e Unicidade se aplica. Esse teorema garante uma solução única para a equação diferencial na região onde a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, são contínuas.
Passo 7
Para que
seja contínua,
não pode ser zero, pois teríamos uma divisão por zero. Portanto, a região onde o teorema se aplica é quando
. Além disso, para
ser contínua, novamente
deve ser diferente de zero.
Passo 8
Resumindo, as regiões do plano
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas são aquelas onde
. Ou seja, todo o plano
menos a linha onde
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
E as regiões no plano
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas são todas as regiões onde
é diferente de zero, ou seja,
.
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Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para
.
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
.
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.