Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial pra resolver:
O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, o Teorema de Existência e Unicidade. Para resolver isso, vamos precisar:
  • Saber como separar as variáveis na equação.
  • Integrar ambos os lados.
  • Analisar onde o teorema de existência e unicidade se aplica, ou seja, onde a função e sua derivada parcial são contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis na equação. Queremos colocar todas as expressões com de um lado e as com do outro. Então, vamos multiplicar ambos os lados por para isolar :
Agora, reescrevemos como :
Então, separamos as variáveis dividindo ambos os lados por e multiplicando por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. A ideia é encontrar funções cuja derivada nos dê os lados da equação acima.
Do lado esquerdo, temos . Vamos integrar termo a termo:
Do lado direito, temos . Integrando também termo a termo:

Passo 4

Igualamos as integrais das duas partes:
Podemos simplificar juntando as constantes e em uma única constante :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, mas está implícita, ou seja, não está isolada em termos de .

Passo 5

Agora, vamos falar sobre o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos diz que, se a função e sua derivada parcial em relação a , , são contínuas em uma região ao redor de um ponto inicial, então existe uma única solução para a EDO nesse ponto.
No nosso caso,
Precisamos verificar onde e são contínuas.
  1. Continuidade de : A função está definida desde que o denominador . Vamos ver se isso acontece.
    • precisa ser solucionado para encontrar pontos onde não está definida.
    • A função é estritamente crescente porque sua derivada é sempre positiva.
    • Além disso, e quando .
    • Portanto, existe exatamente um valor de onde .
  2. Continuidade de : Calculando a derivada parcial:
Essa derivada também está definida desde que .

Passo 6

Então, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todas as regiões do plano onde . Ou seja, a solução única existe e é garantida em todos os pontos exceto na linha onde .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Além disso, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todas as regiões do plano onde .

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Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para .
Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.