Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial pra resolver:
O conteúdo aqui envolve Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e, mais especificamente, o Teorema de Existência e Unicidade. Para resolver isso, vamos precisar:
- Saber como separar as variáveis na equação.
- Integrar ambos os lados.
- Analisar onde o teorema de existência e unicidade se aplica, ou seja, onde a função e sua derivada parcial são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis na equação. Queremos colocar todas as expressões com
de um lado e as com
do outro. Então, vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar
:
Agora, reescrevemos
como
:
Então, separamos as variáveis dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. A ideia é encontrar funções cuja derivada nos dê os lados da equação acima.
Do lado esquerdo, temos
. Vamos integrar termo a termo:
Do lado direito, temos
. Integrando também termo a termo:
Passo 4
Igualamos as integrais das duas partes:
Podemos simplificar juntando as constantes
e
em uma única constante
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, mas está implícita, ou seja, não está isolada em termos de
.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre o Teorema de Existência e Unicidade. Esse teorema nos diz que, se a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, são contínuas em uma região ao redor de um ponto inicial, então existe uma única solução para a EDO nesse ponto.
No nosso caso,
Precisamos verificar onde
e
são contínuas.
-
Continuidade de
: A função está definida desde que o denominador . Vamos ver se isso acontece. -
precisa ser solucionado para encontrar pontos onde não está definida. - A função
é estritamente crescente porque sua derivada é sempre positiva. - Além disso,
e quando . - Portanto, existe exatamente um valor de
onde .
-
-
Continuidade de
: Calculando a derivada parcial:
Essa derivada também está definida desde que
.
Passo 6
Então, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todas as regiões do plano
onde
. Ou seja, a solução única existe e é garantida em todos os pontos
exceto na linha onde
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Além disso, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todas as regiões do plano
onde
.
Exercícios relacionados
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para
.
Ache a solução, na forma explícita, dos problemas abaixo.
Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.