Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma equação diferencial é exata. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dela de forma implícita. O conteúdo envolve equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de exatidão. Para resolver, vamos precisar lembrar como identificar se uma equação é exata e, se for, como encontrar a solução usando uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. A equação dada é:
Podemos reescrever isso na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa uma equação ser exata. Uma equação é exata se existe uma função tal que:
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais cruzadas de e :

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata!

Passo 6

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial . Para isso, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , , temos:
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante.

Resposta

A solução implícita da equação é:
Onde é uma constante.

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