Determine se cada uma das equações abaixo é exata ou não. Se for exata, encontre sua solução (implicitamente).
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se uma equação diferencial é exata. Se for, a gente também precisa encontrar a solução dela de forma implícita. O conteúdo envolve equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de exatidão. Para resolver, vamos precisar lembrar como identificar se uma equação é exata e, se for, como encontrar a solução usando uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. A equação dada é:
Podemos reescrever isso na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma equação ser exata. Uma equação é exata se existe uma função
tal que:
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais cruzadas de
e
:
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata!
Passo 6
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante.
Resposta
A solução implícita da equação é:
Onde
é uma constante.
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e
, para
.
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