Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea:
. Aqui, “homogênea” significa que a equação pode ser escrita de forma que o lado direito seja uma função de
. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, transformando-a em uma equação mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição clássica para EDOs homogêneas:
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, temos:
Essa é a derivada de
em relação a
usando a regra do produto.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Fatorando
dentro dos parênteses:
Podemos cancelar
de ambos os lados:
Passo 6
Distribuindo o
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Isolando
:
Agora, vamos separar as variáveis
e
para integrar ambos os lados.
Passo 8
Rearranjando para separar:
Essa forma nos permite integrar de cada lado separadamente.
Passo 9
Primeiro, vamos simplificar a fração do lado esquerdo:
Isso pode ser decomposto em frações parciais para facilitar a integração.
Passo 10
Integrando ambos os lados:
Do lado direito:
Passo 11
Igualando as integrais:
Podemos combinar os logaritmos:
Elevando ambos os lados como potência de
:
onde
é uma constante.
Passo 12
Substituindo
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 13
Rearranjando para isolar
:
Essa equação pode ser resolvida para
em termos de
, mas a solução geral está implícita.
Resposta
A solução geral da EDO
é dada implicitamente por:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
.
Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
;
Classifique as equações diferenciais: ordinária-parcial e a ordem da equação.
;
Determine a região do plano
para a qual a EDO teria uma única solução de problema do valor inicial
. Mostre as regiões no plano
.
.