Ache a solução geral para cada EDO homogênea: (x^2 + y^2) * y' = 2 * x * y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea: . Aqui, “homogênea” significa que a equação pode ser escrita de forma que o lado direito seja uma função de . Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, transformando-a em uma equação mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição clássica para EDOs homogêneas: . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e .

Passo 3

Derivando em relação a , temos:
Essa é a derivada de em relação a usando a regra do produto.

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Fatorando dentro dos parênteses:
Podemos cancelar de ambos os lados:

Passo 6

Distribuindo o :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 7

Isolando :
Agora, vamos separar as variáveis e para integrar ambos os lados.

Passo 8

Rearranjando para separar:
Essa forma nos permite integrar de cada lado separadamente.

Passo 9

Primeiro, vamos simplificar a fração do lado esquerdo:
Isso pode ser decomposto em frações parciais para facilitar a integração.

Passo 10

Integrando ambos os lados:
Do lado direito:

Passo 11

Igualando as integrais:
Podemos combinar os logaritmos:
Elevando ambos os lados como potência de :
onde é uma constante.

Passo 12

Substituindo :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 13

Rearranjando para isolar :
Essa equação pode ser resolvida para em termos de , mas a solução geral está implícita.

Resposta

A solução geral da EDO é dada implicitamente por:
onde é uma constante arbitrária.

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Resolva as equações: (x+y-2) dx + (x-y+4) dy = 0.
Ache a solução geral para cada EDO homogênea: 2 x^3 y' = y (2 x^2 - y^2);
Classifique as equações diferenciais: ordinária-parcial e a ordem da equação. partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=u^3;
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