Resolva as equações: (x+y-2) dx + (x-y+4) dy = 0.

Passo 1

Vamos lá, você tem a equação diferencial . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver essa equação, precisamos verificar se ela é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata. Isso vai nos permitir integrar e encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação diferencial geral . No nosso caso:
Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Para encontrar , começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituímos na expressão de :
A solução geral da equação diferencial é onde .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante.

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