Resolva as equações:
.
Passo 1
Vamos lá, você tem a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver essa equação, precisamos verificar se ela é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata. Isso vai nos permitir integrar e encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação diferencial geral
. No nosso caso:
Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Para encontrar
, começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituímos
na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial é onde
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.
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Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
;
Resolva as equações:
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Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
.
Classifique as equações diferenciais: ordinária-parcial e a ordem da equação.
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