Determine a região do plano
para a qual a EDO teria uma única solução de problema do valor inicial
. Mostre as regiões no plano
.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. A pergunta é pra descobrir em quais regiões do plano
essa EDO terá uma única solução quando a gente define um valor inicial
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Picard-Lindelöf, que basicamente nos diz quando uma EDO tem solução única dependendo de certas condições matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a EDO na forma padrão
, facilitando a aplicação do teorema. Então, dividindo ambos os lados por
, a equação fica:
Agora, temos
.
Passo 3
O Teorema de Picard-Lindelöf diz que se a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, forem contínuas em uma região ao redor do ponto inicial
, então existe uma solução única passando por esse ponto. Então, precisamos verificar onde
e
são contínuas.
Passo 4
Vamos analisar a continuidade de
. Essa função é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero, ou seja, onde
. O único ponto onde o denominador é zero é no ponto
. Portanto,
é contínua em todo o plano
menos no ponto
.
Passo 5
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada também é contínua em todos os pontos onde
, ou seja, em todo o plano
menos no ponto
.
Passo 6
Como tanto
quanto
são contínuas em todo o plano
exceto no ponto
, o Teorema de Picard-Lindelöf garante que a EDO terá uma solução única para qualquer valor inicial fora desse ponto problemático.
Resposta
A região do plano
onde a EDO
tem uma única solução para o problema de valor inicial
é todo o plano
exceto o ponto
.
Exercícios relacionados
Classifique as equações diferenciais: ordinária-parcial e a ordem da equação.
;
Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
.
Resolva as equações separáveis:
;
Resolva as equações separáveis:
, condição inicial
.