Determine a região do plano x y para a qual a EDO teria uma única solução de problema do valor inicial y0 = y(x0). Mostre as regiões no plano x y. (x^2 + y^2) y' = x^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . A pergunta é pra descobrir em quais regiões do plano xy essa EDO terá uma única solução quando a gente define um valor inicial . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Picard-Lindelöf, que basicamente nos diz quando uma EDO tem solução única dependendo de certas condições matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a EDO na forma padrão , facilitando a aplicação do teorema. Então, dividindo ambos os lados por , a equação fica:
Agora, temos .

Passo 3

O Teorema de Picard-Lindelöf diz que se a função f(x, y) e sua derivada parcial em relação a y, , forem contínuas em uma região ao redor do ponto inicial , então existe uma solução única passando por esse ponto. Então, precisamos verificar onde f(x, y) e são contínuas.

Passo 4

Vamos analisar a continuidade de . Essa função é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero, ou seja, onde . O único ponto onde o denominador é zero é no ponto . Portanto, f(x, y) é contínua em todo o plano xy menos no ponto .

Passo 5

Agora, calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
Essa derivada também é contínua em todos os pontos onde , ou seja, em todo o plano xy menos no ponto .

Passo 6

Como tanto f(x, y) quanto são contínuas em todo o plano xy exceto no ponto , o Teorema de Picard-Lindelöf garante que a EDO terá uma solução única para qualquer valor inicial fora desse ponto problemático.

Resposta

A região do plano xy onde a EDO tem uma única solução para o problema de valor inicial é todo o plano xy exceto o ponto .

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Classifique as equações diferenciais: ordinária-parcial e a ordem da equação. partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=u^3;
Ache a solução geral para cada EDO homogênea: (x^2 + y^2) * y' = 2 * x * y.
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Resolva as equações separáveis: y' = 3 * raiz(cubica(y^2)), condição inicial y(2) = 0.