Ache a solução geral para cada EDO homogênea: 2 x^3 y' = y (2 x^2 - y^2);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) homogênea: . Isso significa que estamos lidando com uma EDO de primeira ordem onde os termos têm o mesmo grau, ou seja, são homogêneos. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação, como a substituição , que transforma a equação em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Vamos substituir isso na nossa EDO original:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação. Expandindo o lado direito:
Portanto, nossa equação fica:

Passo 4

Dividindo ambos os lados por para simplificar:
Agora, subtraímos de ambos os lados:
Isso nos dá:

Passo 5

Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados:
Integrando, obtemos:
Multiplicando todos os termos por :
Onde é uma constante de integração. Agora, lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva as equações: y' = (2 x + 2 y + 1)^2;
Encontre uma representação em série de potências para x^3 / (x + 2) [Veja p. 675 do material]
Resolva as equações: (x+y-2) dx + (x-y+4) dy = 0.
Ache a solução geral para cada EDO homogênea: (x^2 + y^2) * y' = 2 * x * y.