Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) homogênea:
. Isso significa que estamos lidando com uma EDO de primeira ordem onde os termos têm o mesmo grau, ou seja, são homogêneos. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação, como a substituição
, que transforma a equação em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição
. Isso implica que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Vamos substituir isso na nossa EDO original:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação. Expandindo o lado direito:
Portanto, nossa equação fica:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
para simplificar:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Isso nos dá:
Passo 5
Essa é uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
Integrando, obtemos:
Multiplicando todos os termos por
:
Onde
é uma constante de integração. Agora, lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
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Encontre uma representação em série de potências para
[Veja p. 675 do material]
Resolva as equações:
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Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
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