Resolva as equações:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Essa substituição ajuda a transformar a equação original em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar
em relação a
:
Sabemos que
(da equação original). Então, substituindo:
Passo 4
Vamos agora reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Essa separação nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 5
Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre uma representação em série de potências para
[Veja p. 675 do material]
Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura
em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura
, onde
. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de
metros. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
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Resolva as equações:
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