Resolva as equações:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Essa substituição ajuda a transformar a equação original em uma forma mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos diferenciar
em relação a
:
Sabemos que
(da equação original). Então, substituindo:
Passo 4
Vamos agora reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Essa separação nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 5
Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.