Resolva as equações: y' = (2 x + 2 y + 1)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Essa substituição ajuda a transformar a equação original em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar em relação a :
Sabemos que (da equação original). Então, substituindo:

Passo 4

Vamos agora reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Essa separação nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 5

Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é e a do lado direito é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre uma representação em série de potências para x^3 / (x + 2) [Veja p. 675 do material]
Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura h em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura r h, onde 0 < r < 1. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de H metros. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
Ache a solução geral para cada EDO homogênea: 2 x^3 y' = y (2 x^2 - y^2);
Resolva as equações: (x+y-2) dx + (x-y+4) dy = 0.