Resolva as equações: y' = (2 x + 2 y + 1)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, especificamente equações de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação e facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Essa substituição ajuda a transformar a equação original em uma forma mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos diferenciar em relação a :
Sabemos que (da equação original). Então, substituindo:

Passo 4

Vamos agora reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Essa separação nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 5

Vamos integrar os dois lados:
A integral do lado esquerdo é e a do lado direito é , onde é a constante de integração. Então:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados