Encontre uma representação em série de potências para x^3 / (x + 2) [Veja p. 675 do material]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função x^3 / (x + 2). Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e manipulação algébrica. Precisaremos entender como expressar frações como séries, geralmente utilizando séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função x^3 / (x + 2) de uma forma que facilite a aplicação de séries de potências. Podemos fatorar o denominador:

Passo 3

Agora, lembrando que uma série geométrica é dada por , onde . Porém, nossa expressão tem um “+” no denominador. Podemos ajustar isso para se encaixar na fórmula da série geométrica:
Essa série converge quando , ou seja, quando .

Passo 4

Agora, substituímos a série encontrada na expressão original:

Passo 5

Podemos simplificar a expressão combinando os termos:

Resposta

A representação em série de potências para x^3 / (x + 2) é:
Essa série converge para .

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