Encontre uma representação em série de potências para
[Veja p. 675 do material]
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e manipulação algébrica. Precisaremos entender como expressar frações como séries, geralmente utilizando séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a aplicação de séries de potências. Podemos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora, lembrando que uma série geométrica é dada por
, onde
. Porém, nossa expressão tem um “+” no denominador. Podemos ajustar isso para se encaixar na fórmula da série geométrica:
Essa série converge quando
, ou seja, quando
.
Passo 4
Agora, substituímos a série encontrada na expressão original:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão combinando os termos:
Resposta
A representação em série de potências para
é:
Essa série converge para
.
Exercícios relacionados
Uma certa bola tem a seguinte propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura
em uma superfície dura e nivelada, ela volta até uma altura
, onde
. Suponha que a bola seja lançada de uma altura inicial de
metros. Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre.
Expresse
como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência [Veja p. 674 do material]
Resolva as equações:
;
Ache a solução geral para cada EDO homogênea:
;