Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, montamos a equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções de forma exponencial.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo , o que leva a:
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de .

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática em :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para :

Passo 5

Extraindo as raízes de , obtemos:
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Usaremos o método dos coeficientes a determinar. Como os termos do lado direito são exponenciais, tentamos soluções da forma:

Passo 7

Derivando :
Substituindo na equação diferencial:

Passo 8

Simplificando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 9

Igualando os coeficientes:
Para :
ããçã
Isso acontece porque já está na solução homogênea. Portanto, multiplicamos por :

Passo 10

Derivando novamente:
Substituindo na equação diferencial:

Passo 11

Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando:

Passo 12

Igualando os coeficientes:
Para :
Para :
Isso é um conflito, indicando que precisamos multiplicar novamente por :

Passo 13

Derivando novamente e substituindo na equação, encontraríamos os valores corretos de e . Após cálculos semelhantes, obtemos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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