Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, montamos a equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções de forma exponencial.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
, o que leva a:
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas soluções para
:
Passo 5
Extraindo as raízes de
, obtemos:
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Usaremos o método dos coeficientes a determinar. Como os termos do lado direito são exponenciais, tentamos soluções da forma:
Passo 7
Derivando
:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 8
Simplificando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 9
Igualando os coeficientes:
Para
:
Isso acontece porque
já está na solução homogênea. Portanto, multiplicamos por
:
Passo 10
Derivando novamente:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 11
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando:
Passo 12
Igualando os coeficientes:
Para
:
Para
:
Isso é um conflito, indicando que precisamos multiplicar novamente por
:
Passo 13
Derivando novamente e substituindo na equação, encontraríamos os valores corretos de
e
. Após cálculos semelhantes, obtemos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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