Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace, especialmente a que lida com deslocamentos no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace da função é igual a . No nosso caso, temos um termo na expressão de . Isso indica que estamos lidando com um deslocamento no tempo na função original.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte . Sabemos que a transformada de Laplace de é . Ou seja,
Isso significa que, se a gente ignorar o por enquanto, a transformada inversa de seria .

Passo 4

Agora, voltando ao nosso , isso representa um atraso ou deslocamento no tempo. A propriedade que usamos diz que se temos , a transformada inversa é , onde é a função degrau de Heaviside que “liga” a função a partir de .

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, com , temos:
Isso significa que a função é “ativada” apenas a partir de .

Resposta

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Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo:
Calcule a Transformada de Laplace , sendo:
Calcule ;
Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo: