Calcule a inversa da Transformada de Laplace
, sendo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a transformada inversa de Laplace de
. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar conhecer algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace, especialmente a que lida com deslocamentos no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace da função
é igual a
. No nosso caso, temos um termo
na expressão de
. Isso indica que estamos lidando com um deslocamento no tempo na função original.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte
. Sabemos que a transformada de Laplace de
é
. Ou seja,
Isso significa que, se a gente ignorar o
por enquanto, a transformada inversa de
seria
.
Passo 4
Agora, voltando ao nosso
, isso representa um atraso ou deslocamento no tempo. A propriedade que usamos diz que se temos
, a transformada inversa é
, onde
é a função degrau de Heaviside que “liga” a função
a partir de
.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, com
, temos:
Isso significa que a função
é “ativada” apenas a partir de
.
Resposta
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Calcule a Transformada de Laplace
, sendo:
Calcule
;
Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo: