Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo:

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a inversa da Transformada de Laplace de . Para isso, vamos utilizar conceitos de Transformadas de Laplace, especificamente as propriedades que relacionam funções exponenciais e funções trigonométricas. Precisaremos identificar uma forma padrão da Transformada de Laplace para aplicar a inversa corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de é dada por:
Comparando com a nossa função , percebemos que a expressão se parece com a transformada padrão, onde:

Passo 3

No entanto, na nossa função , o numerador é 1, enquanto na transformada padrão temos no numerador. Para igualar as duas expressões, vamos ajustar a nossa função multiplicando e dividindo por :
Assim, identificamos que:

Passo 4

Portanto, aplicando a transformada inversa, temos:
Mas lembramos que multiplicamos por no passo anterior, então:

Resposta

A inversa da Transformada de Laplace de é:

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Calcule a Transformada de Laplace , sendo:
Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Se converge e diverge, pode-se dizer algo sobre sua soma termo a termo ? Justifique sua resposta.